(江苏省宿迁市马陵中学 223800 李广修)
1.新授课教学设计理念
新授课教学设计是复杂的创造性的推陈出新的活动。根据新一轮课程改革的要求，新授课教学设计必须用现代建构主义理念作指导，不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养，还要关心和改善学生的学习方式，更要重视学生对数学情感、态度方面的发展，如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”、“问题意识”、“毅力”等，体现素质教育的要求。
教学目标立体化。确立的教学目标应该是知识与能力并重，一般的思维能力与数学思维能力相融，数学与日常生活相融，认知与情感相融，学习与“创新”相接，学习内容与学习方式统一，内容的广度与深度兼顾，过程与结果贯通。用加涅的学习结果分析法对学习内容进行分析，有利于教学目标的精确化、具体化，有利于把短期目标(包括课时目标)统摄于长远的培养目标之中。
教学过程科学化。奥苏伯尔指出：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。”因此，数学新授课应在学生已有知识和经验的基础上，启发学生发现新的问题(或由教师提出)，引导学生积极参加数学活动，寻找解决问题的途径，探求问题的结论，并逐步加以改进、完善，形成一般的理论。在应用理论解决具体问题的过程中巩固知识、深化认识，进而引导学生对问题作进一步思考和发现。
教学方法最优化。要根据学生的“数学现实”、教学内容、教学目标和“师生共同体”惯常运作的教学方式来设计教学方法，可采用发现法、探究法、讲解法、自学法，或它们的组合。关键是正像弗赖登塔尔指出的那样，有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程。学生通过同化和顺应等心理活动和变化，自主构建数学知识，不断完善数学认知结构，并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识，获得成就感，改变那种“灌输——接受”落后的学习方式，让学生真正成为数学学习的主人。
教学手段现代化。充分利用现代化教学手段，创设教学情境，引进数学实验，让问题更具有开放性，激发学生的学习兴趣；呈现直观、形象的数学，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态，化解学生的认知疑难。一般地说，现代多媒体技术为学生形成积极主动的多样的学习方式创造了有利的条件，从而是学生学习数学、解决问题的有力工具，但要防止异化，做表面文章。
笔者依据上述教学理念，设计了曲线和方程这节课，收到了较好的效果，在宿迁市优课评选中获得了一等奖。
2.曲线和方程教学设计
2.1 从学生的“数学现实”出发，提出课题
师：同学们，在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系。直线是特殊的曲线，将此问题引申，这节课我们来研究一般的曲线和方程的关系。直线和二元一次方程的关系是曲线和方程的关系中特殊的，它们的结构如图，所以研究直线和方程关系的方法、结果对我们研究曲线和方程的关系有引领、启发作用。哪一位同学说一下直线与它的方程的关系?
生：直线上的点的坐标是它的方程的解。
生：不只这一条，还有，以方程的解为坐标的点都在直线上。
2.2 从操作画图中抽象、概括出曲线的方程、方程的曲线的定义
师：很好，同学们表述的这两条，充分揭示了直线与它的方程之间的对应关系。直线与二元一次方程的对应关系我们知道了，其它的图形又与怎样的方程对应?解决一般的问题，往往先从特殊的问题入手，请同学们画出方程|y|=1x的图形看看。
(学生画图，教师巡回查看，并收取有代表性的“作品”留作投影)
师：同学们所画的图形主要有下面5种(投影)，都是吗?哪一个是?为什么?其余为什么不是?
生：图1不好，图1上有的点的坐标不是方程|y|=1x的解。图2也不好，方程|y|=1x上有的解为坐标的点不在上图2上。图3还不好，图3有的点的坐标不是方程|y|=1x上的解。
生：图4所有的点的坐标都是方程|y|=1x上的解，且方程|y|=1x上的所有解为坐标的点都在图4上，它好像是最好的。
生：图5不如图4好，因为图5上有的点的坐标也不是方程|y|=1x上的解。
(学生讨论，教师把讨论引向深入，引向一般化)
师：同学们认为最合理要从两个方面来看，非常好。能够从众多的因素中找出“最合理”的因素，需要有敏锐的判断力，这是一种宝贵的科学素质。历史上，许多数学理论一开始并不是十分完善的，而是经过了许多人的改进、完善，去掉不合理的成份后才形成的。我们刚才所分析的“最合理”的两方面的过程，其实能折射出当年数学家所经历的历程。同学们从这里出发，试着给出曲线的方程的定义?
(学生不断修正、完善所给出的定义，最后教师明确并投影定义)
2.3 深化认识定义师：在这个定义中，(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解和(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映的是同一事实吗?
生：(1)和(2)不是同一事实，是问题的正向和反向两个方面。(1)的要求是曲线上点的坐标的集合是这个方程解的集合的子集，而(2)的要求是以这个方程解为坐标的点的集合是曲线上点的集合的子集。
师：对，(1)和(2)都满足了，也就是两个集合相等，这可以看作是定义的本质。这个定义和什么知识相似?
生：和互逆命题相似。
生：和充要条件相似。
生：和集合的描述法相似。
师：同学们说的都有道理，例如集合的描述法{x|p(x)}，要求满足条件p(x)的元素在集合内；反之，集合内的元素满足条件p(x)，这和曲线的方程的定义确实差不多。现在回过头来用定义来说明为什么方程|y|=1x上的图形不能是图1、2、3、5。
……
2.4 引申概念
师：曲线和方程的关系建立了以后，怎样判断点在不在曲线上?
学生经过陈述、修正、补充，最终得出：如果一条曲线C方程的是f(x，y)=0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)=0。
2.5 进一步认识曲线的方程、方程的曲线概念，初步形成相关知识网络
师：上面研究问题的手段是从特殊到一般，现在再从一般到特殊，请看例题：
例1 到x轴的距离等于1的点的轨迹(曲线)的方程是( )
(A)x=1。 (B)|x|=1。
(C)y=1。 (D)|y|=1。
例2 若点(4，-3)是在曲线x2+ky2=25上的点，求k的值并判断点(5cosθ，-5sinθ)、(4，1)是否在曲线x2+ky2=25上?
例3 同学们刚才画方程|y|=1x的图形给出了5个，除了图4以外都是不大合理的，请写出图1、2、3、5的方程。
……
生：图5的方程是|y|=|1x|。
生：不对，图5的方程是y2=(1/x)2。
师：两个方程哪一个对?
生：都对。
师：为什么?
生：因为两个方程的解集是一样的，它们对应的点集是一样的，所以其中一个方程是，另一个方程也应是。
师：对。今后，我们判别曲线的方程的问题不能只看形式。
例4 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。
(例4是重点，也是难点，要在分析问题、解决问题、规范表达等方面起示范作用)
2.6 学生巩固知识，进一步形成技能
师：我们师生共同解决了上面几个问题，现在请同学们独立完成课本第69页练习。
(用动画说明结论)
补充练习：请举例：只满足(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解。只满足(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。既不满足(1)也不满足(2)。既满足(1)也满足(2)。
2.7 学生提出问题(略)
2.8 教师小结、布置作业
师：这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义。在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性。曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线和方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景。我们要有数形结合的意识。笛卡尔等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大。请同学们阅读书中的有关材料，有兴趣的同学还可以上网查阅。这是布置的第一项作业。如何求曲线的方程，明天学习。第二项作业是本子题：习题7。6(第1、2题)。
参考文献
1.肖柏荣主编。高中数学典型示例，北京：人民教育出版社
2.李士奇编著。数学教育心理，上海：华东师范大学出版社
3.加涅(美)著。教学设计原理，上海：华东师范大学出版社
4.数学课程标准。北京：人民教育出版社
(摘自：《数学教学通讯》2004年5月/上半月/总第198期)
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