《组合》知识小结_数学论文

　　一、学习目标

　　1.理解组合的意义。

　　2.掌握组合数公式，并能运用它解决简单的组合问题。

　　重点：组合数的意义及组合数公式的推导公式。

　　难点：用组合数公式解决有关问题。

　　二、知识网络

　　三、知识精析

　　1.组合与组合数

　　(1)组合

　　①1组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

　　②对“取出”的正确理解：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，是指一次取出m个具体的元素构成的一个组合。

　　③组合的实质：所谓组合是把几个事物放在一起，不计顺序，而且事物之间两两不同，当做一个组。组合的概念与集合类似，一个组合和一个集合都由其元素惟一确定。

　　④排列与组合的区别：二者的共同点是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是组合与顺序无关，排列与顺序有关。

　　⑤注意：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，即使只有一个元素不同，就是不同的组合。

　　(2)组合数

　　①组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。

　　②“组合”与“组合数”是两个不同的概念，一个组合不是一个数，而是具体的一件事，而组合数是一个数。

　　③组合数公式(应掌握推导方法)

　　。

　　④组合数公式的推导思路是依据乘法原理，同时也要注意其推导思路在解一些应用题时，常常用到。

　　2.组合数的性质

　　(1)性质1　。

　　①性质1的实质是n个不同元素中取出m个元素的组合与剩下的n-m个元素的组合是一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。

　　②性质1的对称性

　　由此可以发现，起初的逐渐增加，最后的逐渐减少，必在中间取得最大值。经分析可得出如下结论：如果n=2k，则最大；如果n=2k+1，则，相等且最大。

　　(2)性质2　。

　　①要注意它的各种变形，在解题中可灵活的加以应用。

　　②性质1，性质2在有关组合数的计算、化简、证明以及以后学二项式定理中，有着广泛的应用。

　　四、应用组合知识解决实际问题的基本思想方法及常见题型。

　　1.基本思想方法：按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法。分类应做到标准明确；分步应做到层次清楚，不重不漏。要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义。

　　2.常见题型。

　　(1)有特殊要求(特殊元素、特殊位置等)的组合计数问题；

　　(2)比较隐蔽的组合问题；

　　(3)组合与排列的混合问题。

　　五、特别说明

　　由于排列组合问题涉及的数量较大，难以直接检验其正确性，因此要注重用不同的途径来解题。对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式，避免误选。

来源：中学生学习报*数学周刊(高二版)/2004年/04月/17日/第001版/