求异面直线距离的常用方法_数学论文

　　求异面直线的距离是立体几何的一个难点，其主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们学好这一内容，本文系统地介绍一些求异面直线距离的常用方法，望能达到开拓思路、扩大视野的目的。

　　一、直接法

　　直接法就是根据两条异面直线间距离的定义，直接找出其公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

　　例1：如图1，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。求异面直线A₁B₁与AC之间的距离。

（图1）

　　解：连结DB，设DB∩AC于点O，由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，可知A₁A⊥底面ABCD。

　　∴A₁A⊥AC。

　　又∵A₁A⊥A₁B₁，

　　∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC的公垂线段。

　　由面EAC与底面ABCD所成的角为45°，易知∠DOE=45°。

　　又∵截面EAC∥D1B，且面D1BD与面EAC的交线为EO，

　　∴D₁B∥EO。

　　∴∠DOE=∠DBD₁=45°。

　　∴D₁D=DB=a。

　　∵D₁D=AA₁，

　　∴异面直线A₁B₁与AC之间的距离为a。

　　其次，若两条异面直线a、b互相垂直，则可通过一条(如a)作另一条(如b)的垂面α，得垂足，然后可过垂足在α内作出公垂线段。

　　例2：如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求异面直线DB₁与AC间的距离。

（图2）

　　解：由三垂线定理可知，AC⊥DB₁。连结DB，则平面DBB₁为过DB₁且与AC垂直的平面，交点为O。过点O作OH⊥DB₁，垂足为H，于是线段OH为异面直线DB₁与AC的公垂线段。

　　由Rt△DBB₁∽Rt△DHO，得OH／B₁B=DO／DB₁。

　　∴OH=DO·B₁B／DB₁=6。

　　所以异面直线DB₁与AC间的距离为6。

　　二、间接法

　　间接法就是当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

　　(1)线面距离法

　　线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平面的距离即为所求异面直线间的距离。　　

　　例3：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=3，AA₁=4，求异面直践AB与A₁C间的距离。

　　解法1：如图3，连结A₁D，由AB∥DC，得AB∥面A₁DC。故AB到A₁DC的距离即为AB与A₁C间的距离。由面A₁D⊥面A₁DC及面A₁D⊥AB，故可在面A₁D内从A作AE⊥A₁D于点E，则AE即为AB到面A₁DC的距离，也即为异面直线AB与A₁C间的距离。由AD·AA₁=A₁D·AE，可得AE=12／5。

（图3）

　　(2)体积法体积法就是构造棱锥，把线面距离看作是某个棱锥的高，利用棱锥体积的不变性，列方程求解。

　　例3的解法2：在图3中，由V_A-A1DC=V_A1-ADC，设点A到面A₁DC的距离为h。

　　由解法1的分析可知h即为异面直线AB与A₁C的距离，则有1／3·h·S_△A1DC=13·AA₁·S_△ADC。

　　∴。

　　(3)极值法

　　极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数，进而通过求函数的最小值来达到解题目的。

　　例3的解法3：如图3，在直线A₁C上任取一点F，作FG⊥AC于点G，作GH⊥AB于点H，连结FH，由于面A₁AC⊥面AC，由三垂线定理知FH⊥AB。设AH=x，因△ABC∽△AHG及△CFG∽△CA₁A，则GH=3／2x，FG=4-2x。

　　∴。当x=32／25时，FH的最小值为12／5。即异面直线AB与A₁C间的距离为12／5。

　　(4)面面距离法

　　面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。

　　例4：如图4，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为l，求异面直线A₁D与AC间的距离。

（图4）

　　解：连结A₁C₁、C₁D、AB₁、B₁C，A₁D与AC分别在两个相互平行的平面A₁DC₁和B₁CA内，则A₁D与AC间的距离就是两个相互平行的平面A₁DC₁和B₁CA之间的距离，连结BD，且交AC于点O，作OO1⊥面AC，连结DO1，作OE⊥DO1于E。可知OE为两平行平面A₁DC₁和B₁CA之间的距离。在Rt△DOO1中，OO1=1，DO=2，DO1=2。

　　∴OE=OO1·DODO1=3。

　　所以异面直线A₁D与AC间的距离为3。

摘自：数学乐园考试报·高二数学版/2004年/04月/13日/第004版/