掌上数学：图形计算器在中学数学教育中的作用_数学论文

　　随着数字化时代的到来，我们观察到这样一种有趣的现象：人与人之间的交谈最早只能通过面对面的交谈。之后产生了电话，于是人们可以或立或坐在电话机旁，相隔千里传递信息。当移动电话产生之后，人们惊喜地发现人可以一边走一边打电话，可以说随时随地。再看计算机产生之后，人们一开始只能坐在电脑桌前操作计算机。笔记本电脑的出现，使人们可以把计算机放在书包里，带到某个地方，坐下，打开，然后操作。当掌上电脑产生之后，人们惊喜地发现人可以一边走一边操作电脑，可以说随时随地。这样的例子举不胜举，那么教育、数学教育又如何呢？以前，我们的印象中，数学总是和黑板粉笔或者纸笔联系在一起。人们局限在有限的空间中，能力受到很大限制。计算机使人脑得以大大的扩展和延伸，但是人还是没有能够和技术随时随地地融合在一起。

　　教育信息化正在成为社会信息化的重要组成部分，技术发展的趋势是不言而喻的，而手持教育技术正在世界各国教育改革中体现着越来越明显的作用。在美国，“经过二十多年大量的倡导性的努力之后的今天，我们相信手持技术的应用已经永久性地改变了老师如何教授数学，学生如何学习数学的方式方法！”

　　在本文中可以看到，以TI图形计算器为代表的手持教育技术如何对数学教育改革产生影响，又如何在中学数学教育中发挥作用。我们不难想象，未来的某一天，我们不经意地看到中国的孩子们也从口袋里拿出一个图形计算器，学习和解决他们脑子里和生活中随时出现的数学问题。这样的情况绝不仅仅发生在数学课堂上，还发生在理化实验中、操场上、餐桌旁、公共汽车上，甚至考场里。那时候，也许我们也会惊喜地发现人可以随时随地地教数学和学数学，我们称之为：移动的数学。“让每一个普通教室成为计算机教室，让每一个学生随时随地可以学习和探索数学。”

　　Every　classroom　to　be　computer　classroom，every　student　can　learn　and　explore　maths　atanytime，anywhere．

　　一、背景

　　说到图形计算器对数学教育的作用，不得不首先提到1985年开始在美国由俄亥俄州立大学的Bert．Waits教授和Franklin．Demana教授等主持的“计算器和计算机微积分预备项目”（C²PC）。这个项目是作为他们以及Joan．Leitzel、Alan．Osborne和Joe．Corsswhite在1980年开始的“向大学数学过渡项目”中所取得的经验的一种延续而开始的。

　　当时，他们发现俄亥俄州立大学的许多大学新生在中学学习的数学课程并没有为学习微积分、甚至大学代数作好准备。于是，他们决定开发一种新技术，以增强高中的微积分预备课程（内容主要包括函数、方程、分析、解析几何和三角知识等），使更多的学生可以顺利地学习大学的微积分课程。于是，他们利用假期开设培训班，并且通过接受培训的教师，在越来越多的高中和大学进行实验，并对数据进行分析和研究，对项目进行不断改进。

　　C²PC项目的关键在于，他们认为，由计算机产生的图象，将成为这类数学课程的教学与学习的辅助工具。项目起初，他们采用的是台式计算机，并且开发了数学软件Master．Grapher。但是，他们发现计算机并没有对数学课程的教与学产生预期的作用。由于计算机教室配置昂贵，数量有限，所以数学教师很难经常地把学生安排在计算机教室里上数学课。而且，师生很难把计算机教室认为是他们熟悉的教数学和学数学的课堂，计算机软件对于他们也显得陌生。计算机在大多数情况下更多地充当了演示的工具，不可能真正走进普通课堂，也很难成为学生主动学习数学的普及性手段。

　　80年代中期，当图形计算器出现后，他们发现机会来了。参与项目的教师们很快学习并掌握了图形计算器技术，并迅速推广。而TI公司作为世界上出产第一台电子计算器的厂商，也积极地参与到数学教育的改革之中，支持教师的培训，并致力于图形计算器在数学教学中发挥作用。到1989年，该项目已经几乎100%地采用了TI图形计算器，TI图形计算器作为手持教育技术的代表受到广泛的认可和采用。

　　变化是一点一点发生的，积小成大。在数学教育界的反复研讨和教师的积极参与下，在TI公司的大力支持下，改变出现了！美国全美数学教师协会（NCTM）《标准》出现了改变，课程教材发生了变化，教与学的模式和手段得到了更新。

　　1989年颁布的NCTM9至12年级《课程与评价标准》中有这样一个假设：任何学生在任何时间都可以使用图形计算器。这样，老师和学生们的一个梦想终于可以实现：“让每一个普通教室成为计算机教室，让每一个学生随时随地可以学习和探索数学。”

　　二、TI手持教育技术的由来和发展

　　图形计算器的普及，并不意味着台式计算机在数学教育中不重要。因为在今天，TI图形计算器上出现的所有软件和功能都在台式计算机上出现过并得以广泛认可。只不过TI图形计算器把在计算机上得到验证的优秀数学软件浓缩到每个教师和学生的手中，而且，在物理、化学、生物等理科教学以及综合应用方面也得以融合和深入。因此，十几年后的今天，图形计算器已经和计算机与网络一起成为美国数理教学中必不可少的现代化教育技术和手段，成为中学和大学学生必不可少的学习工具，并在全球各地得到广泛推广。

　　经过十几年的发展，今天的TI图形计算器内部设置了功能强大的数学教学专用软件，如函数作图与分析系统、几何绘图系统、计算机符号代数系统、数据处理系统等，还具有程序编辑功能。与TI图形计算器配合的“以计算器为基础的实验室”（CBL）等数据采集实验装置，则可用来收集与处理真实世界中的各类物理、化学、环境、生物数据，如位移、速度、温度、声音、光、力、电、等等，并能方便地传输给图形计算器，进而用数学手段加以分析处理。在通讯方面，图形计算器之间、图形计算器与计算机之间都可以进行数据、图象和程序等的传输。具备Flash功能的计算器还可以从互联网上下载最新研制的软件，可对计算器进行软件升级，而不需淘汰原有计算器，从而使之获得强大的生命力。

　　如今的TI图形计算器已经全面适用于从初中到大学的各阶段的数理学习，以TI图形计算器为代表的现代教育技术更是成为世界手持教育技术的全球领导者。从未来的技术发展来看，TI图形计算器绝不仅仅是一个可以作图的计算器，而更是一个真正意义上的数理教学的掌上电脑，是一个可以随时随地探索科学的流动实验室，是一个基于网络互动的先进的教学手段。我们已经看到，TI图形计算器、台式计算机和校园网将成为一个有机的网络化教学环境，各种教学信息和数据将在它们之间通畅地传输，帮助老师和学生解决教与学中的问题。

　　三、几种典型的教学模式及相关实例

　　1．让学生成为课堂的主人：课堂教学

　　现代教育技术进入普通课堂，师生人手一台图形计算器配合课堂教学。这样的数学课突出学生主体，以及学生在教师引导下的主动参与、自主探索和规律发现的知识形成过程。

　　实例1：三角函数的性质

　　(a)A对函数的影响(b)ω对函数的影响

　　(c)ψ对函数的影响(d)综合演示

　　实例2：圆锥曲线的轨迹问题

　　问题：ΔABC一边的两顶点是B(a，0)，C(－a，0)，(a>0)，另两边的斜率乘积是m，(常数，不等于0)，求顶点A的轨迹。

　　(a)m=2(b)m=－2

　　(c)m=－0．5(d)m=0．5

　　(e)用定义验证(f)讨论总结

　　(g)学生观察随m的变化，图象的变化

　　2．做数学，做科学：数学实验和综合理科教学

　　设立数学实验室或数理探索者选修课，以综合理科的研究性或探究性教学为主要特色，通过配合理化探头的探索活动，重点发展学生数学知识应用，综合理科分析和创新实践能力。

　　实例1：水的降温过程与指数函数

　　(a)采集数据并连线(b)观察数据

实例2：几种抗胃酸药物的疗效测定

　　以上各图分别为胃药中和胃酸的量的滴定曲线，以及相同质量的胃药在发挥疗效时PH值随时间的变化曲线。

　　3．为学生插上翅膀：探索和创新活动

　　既在数学课堂教学中应用，也让学生带着研究课题在课外活动中自主探索和实践，图形计算器成为学生随时随地探索数学和科学的工具，为学生创造更好的技术条件和强大支持。

　　实例1：一个动点的轨迹问题

　　问题：等腰直角ΔOAB的顶点O在原点，A在定直线y=1上运动，求动点B的轨迹？

　　探索问题1：如果条件中的定直线改为一个定圆、定三角形或其他，动点B的轨迹会怎样？

　　探索问题2：如果条件中的等腰直角三角形改为一个等边三角形、正方形或其他，又会产生怎样的结论？

　　思考问题：从以上的探索过程中，可以有怎样的猜想？如何验证？还有其他的探索吗？

　　(a)基本问题

　　(b)探索问题1(c)探索问题2

　　实例2：标志与函数

　　问题：从一个圆形卡片上切出一个扇形，将其折叠，问如何构造一个最大体积的锥体？

　　(a)利用计算机代数系统的求得精确解

　　(b)图形解法

　　引申问题：怎样对圆形卡片进行分割，使得到的两个锥体的体积之和尽可能大？

　　(c)利用计算机代数系统的求得精确解

　　(d)图形解法

　　进一步思考：如果圆的半径不为1，以上结论是否成立？

　　“使用图形计算器的学生，

　　对图形的理解层次处于较高的水平；

　　能够更好地把图形和方程式结合起来；

　　可以更好地阅读和解释图形信息；

　　可以从图形中获得更多的信息；

　　在图形方面具有更好的综合成绩；

　　更擅长“使用符号”，即为图形找到代数表示方法；

　　更好地理解函数的全部特性；

　　通过研究更多的表示方法，提高他们以“例证方式”诠释函数的能力；

　　更好地理解图形、数字和代数表示法之间的联系。

　　此外，他们

　　在解决问题上，具有了更加灵活多变的方法；

　　更愿意长时间地沉浸于解决问题的工作中；

　　可把精力集中在问题中所蕴含的数学，而不是在代数操作上；

　　解决了用代数法所无法解答的非常规问题；和坚信计算器提高了他们解决问题的能力。”

　　（Dunham&Dick，1994）

　　四、基于图形计算器的技术特点

　　通过以上的实例，我们可以看到，基于图形计算器的技术特点主要体现在以下几个方面：

　　便携性。一方面表现在，TI图形计算器可以在任一个普通的教室利用普通的投影仪进行演示，还可以利用实物投影仪、电视、计算机等多种设备。另一方面表现在，师生可以方便地随身携带。老师可以随时随地地备课；学生可以在教室、家庭、野外、运动场等各种场合进行数学实验，通过探索科学，进行数学分析，从而发现规律。

　　专用性。主要体现为TI图形计算器是源于为数学教学服务，后来发展为数理综合性的应用。所以，它的硬件和软件都是基于教学目的而设计的，不同于一般意义的计算机和掌上电脑。这样，TI图形计算器更专业化，更符合教学的要求和学习的需要，更具有实用价值。

　　多学科。TI图形计算器的一大显著特点还体现在，它不仅仅在数学课堂教学中可以得到广泛应用，还可以通过CBL和CBR，以及各种理化探头，方便地进行多种物理、化学、生物等学科的实验，甚至可以进行用传统的理化实验尚不能完成的实验。另外，由于数学软件的使用，可以将实验结果用适合的函数拟合，并用数学的方法分析，这样数理化生等教学成为一个综合理科的实验、教学与学生创新实践的过程。

　　网络化。TI图形计算器不仅仅可以互相之间方便地传输数据和程序，更可以和相关的计算机数学软件进行通信，建立备份，综合使用。同时，如今的TI图形计算器已经可以连接互联网，从网络上下载应用程序，更新操作系统，订做用户界面，甚至完成数学作业等。