圆上的格点问题_数学论文

你找一个直角座标图纸，然后以原点为中心，1单位长为半径画一个圆。你看看这个圆经过哪一些点，它的x座标及y座标是整数的？

你会看到只有四点，即（0，1），（0，-1），（-1，0），（1，0）。

我们在数学上把这类平面上x座标及y座标都是整数的点称为整点，或者格点（lattice point）。现在再看以原点为中心， 2单位长为半径的圆经过的格点有（1，1），（1，-1）及（-1，-1）。

经过一些格点呢？你看了以上的例子，你会多数说：“一定会有一些格点在圆上。”

原点为中心画圆，你看一看会有什么结果？

我的天，真是奇怪，怎么这时候没有格点落在圆上呢？是的，数学就是这样有趣的玩意儿，问题的条件稍微有一点变化，整个结果的情形就改变了。

上面？”就等价于问：“代数方程x²+y²=n是否有整数解？”

在n=4，5时读者很容易可以找到它们的解。可是在n=6，7时却无解了。n=8时却有解。

我们检验n=1，2，…，8看到n在3，6，7时是无解。

现在看到6=3×2，7=4+3，我们或许可以作下面的：

（猜测A）当x²+y²=3k（k=1，2，…），方程是无整数解。

（猜测B）当x²+y²=4k+3（k=1，2，…），方程是无整数解。

检验（猜测 A）看到当 k=1，2，3，4，5时方程真的是无整数解。很可能（猜测A）真是一个定理。你再对k=6检验这时你却发现（±3）³+（±3）²=18因此（猜测 A）是不对的。

（猜测B）却真的是一个定理。用同余的性质是很容易证明：由于4k+3是奇数，所以x和y不能同时是奇数或偶数，理由是偶²+偶²=偶，奇²+奇²=偶。一定要x和y一个是奇数及一个是偶数。假定x是奇数，它被4除后余数可能是1或3，即x≡1（mod 4）或 x≡3（mod 4）， 因此 x²≡12（mod 4）或x²≡9（mod 4），即x²≡1（mod 4）。如果y是偶数，则 y²≡0（mod 4），因此由同余性质可以知道x²+y²≡1（mod 4），所以x²+y²应该是形如 4t+1的样子而不会是形如 4m+3，这和假设矛盾。所以x²+y²=4k+3不会有整数解。