偶完全数的一个巧妙的性质_数学论文

我们上文介绍过偶完全数。为了使读者能了解同余能帮助我们更深入认识数的一些美丽性质，我们来研究偶完全数一个很巧妙的性质。

我们回忆一下：完全数是那些整数，它的所有小于它本身的因子的和是等于自身。我们知道的完全数到目前为止只有27个，而且都是偶数。最小的几个是 6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336等等。

你可以看到这些数的个位数和十位数时常是6或28。如果明天有一个新的偶完全数被人们发现，它的个位数或十位数是否也会是6或28呢？

我们知道二千年前的欧几里得及18世纪的数学家欧拉证明了偶完全数只能是2^k-1（2^k-1）这里 k=2或k是奇数。

k=2时，我们得最小的偶完全数 2（2²-1）=6；

现在看k是奇数的情形，奇数可以分成两类：

第一类 k被4除后余1，即 k≡1（mod 4）

由于 k-1=4n，所以2^k-1=2⁴ⁿ=（2⁴）ⁿ

从2⁴=16≡6（mod 10）我们有2^k-1≡6n（mod 10），但是6²=36≡6（mod 10）， 6³≡6（mod 10），一般6ⁿ≡6（mod 10）所以由同余的传递性我们说2^k-1≡6（mod 10）。

所以2^k=2×2^k-1≡2×6=12≡2（mod 10）

因此2^k-1≡2-1（mod 10）即2^k-1≡1（mod 10）

所以（2^k-1）2^k-1≡6（mod 10），这就是说当偶完全数的k是第一类，这数减6后必能被10整除，也就意味着这完全数的个位数是6。

第二类 k被4除后余3，即 k≡3（mod 4）

由k-3=4n，我们得2^k-1=2⁴ⁿ⁺²=2⁴ⁿ·2²≡6·4≡4（mod 10）

读者用数学归纳法可以证明当k＞3时，所有的 2^k-1都能被4整除，因此 2^k-1的个位数是 4，且最后的两位数也能被 4整除，所以它最后两位数可能出现04，24，44，64或者84，即2^k-1≡4，24，44，64或84（mod 100）

所以2^k-1≡2×2^k-1≡7，47，87，27，或67（mod 100）

因此2^k-1（2^k-1）≡4×7，24×47，44×87，64×27或

读者试试算以上的各种情形一定会得到

2^k-1（2^k-1）≡28（mod 100）