我们现在考虑两个数列：
n：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，…
n2：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，…
我们用S（k）来表示那些整数，可以用k个平方数的和来表示的集合。
例 S（2）={1，2，4，5，…}
读者如果注意观察会发现凡是形如 4k+3的整数都不在S（2）里面。
S（3）有什么整数呢？首先1是在里面，1=12+02+02，2也是在里面，因为2=12+12+02。3也可在里面，因为3=12+12+12。4=22+02+02，5=22+12+02，6=22+12+12所以4，5，6都在S（3）。但是你会发现7不在S（3）里。
如果你多次观察你也会发现凡是形如 8k+7的整数都不在S（3）里。
S（4）是包含什么样的东西呢？答案是：所有的自然数。这是法国数学家拉格朗日（Lagrange 1736－1813）在 1770年证明的一个有名的定理。
要证明整数形如 4k+3不在 S（2）里，及形如 81+7不在S（3）里是否会很难呢？我想不会太难，我们用同余就可以协助我们解决。
我们知道自然数可以根据同余分成四个部分
[0]4=那些是4的倍数的整数集
[1]4=那些形如4k+1的整数集
[2]4=那些形如4k+2的整数集
[3]4=那些形如4k+3的整数集
由于（4k+1）2=（4k）2+2（4k）+1=4（4k2+2k）+1
（4k+2）2=（4k）2+4（4k）+4=4（4k2+4k+1）
（4k+3）2=（4k）2+6（4k）+9=4（4k2+6k+2）+1因此在[0]4的数，平方后仍旧在[0]4表面不会跑掉。因而[1]4里的数也是平方后仍在原来的老巢里。但是在[2]4里的数，一平方后就飞到[0]4里去了。[3]4的数也是一样，平方后溜到[1]4中。
由此我们知道：任何数一平方后，要不是形如 4k就是形如4k+1。
现在看两个平方数x，y的和。可能情形有三种：
第一种：x是形如4k，y是形如4k，x+y当然是形如4k
第二种：x是形如4k，y是形如4k+1，x+y当然是形如4K+1
第三种：x是形如4k+1，y是形如4k+1，x+y当然是形如4k+2
这三种情形都没有4k+3的样子，这就是说凡是形如4k+3的整数一定不能表示成两个平方数的和。
你看我们不是解决了S（2）的情形，关于在S（3）中不包含8k+7的形状的数的证明，留给读者自己练习。你看我们是怎么样对S（2）的情形考虑，类似处理S（3）的情形，动脑筋想一想就可以很容易解决了。
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