空间中的平面_数学论文

　　我国著名作家巴金对飘落的雪花作过这样的描述：“风刮得很紧，雪片象扯破了的棉絮一样在空中飞舞，没有目的四处飘落......雪片愈落愈多，白茫茫地布满在天空中......落在行人的脸上。”这段描述与数学有些什么联系呢？若把天空想成空间，把雪花所有可能所处的位置都想成点，这不就是点“布满”空间的现实模型吗？我们生活在现实空间之中，目之所及都是空间的一部分。空间就是所有可能位置的总体，就是所有点的总体。

　　空间中有点，有线，有面。点与直线我们早已熟悉。那么什么是面呢？生活中有各种各样的面，如桌面、脸盆的表面等等。桌面给我们平面一部分的印象，脸盆表面给我们曲面的印象。这里我们着重讨论一下平面的有关性质。

　　平面，直观地说，就是一个处处平直的面。怎样检验一个面（如桌面）的平直性呢？人们常用的检验方法是：拿一根直尺放在桌面上的各个位置上，看看直尺与桌面之间是否总是密合。密合性好就说明桌面平，反之说明桌面不平（见图1）。脸盆表面呢，显然不是平面，它不具备平直的性质。将这一检验法抽象出来，就得出平面的一个基本特性：经过平面上两点的直线在这个平面上。

图 1

　　那么空间中，怎样的几点才能确定一个平面呢？观察一下图2，根据经验我们知道，由两根绳子、一根木棒确定的并糊上纸的三角形纸面，可以绕着上端固定点摆动，处于无数个位置。若把纸面想成平面的一部分，固定点想成一点，就说明：经过一点可以有无数多个平面。

 
图 2         　　　          图 3
 

　　观察一下图3，我们可以看到，由两个折页固定的门，可以自由转动，处于无数个位置。若把门面想成平面的一部分，固定门的两个折页想成两个点，就说明：经过两点的平面也有无数多个。

　　从图3中，我们还可以知道，当门关上锁好之后，门就不能动了。将这一情形进行抽象，就得到平面的又一条基本供质：不在一条直线上的三点，可以确定一个平面。

　　现实生活中，这一性质的应用是屡见不鲜的。例如，照相机架由三条腿组成，它能放在不平坦的地面上，保持平稳。在地面适当的位置上打三根木桩，木板就可以稳稳地放在木桩上。三个手指可以托着一本书，等等。

　　由这一性质出发，可以推出：两条相交直线或平行直线确定一个平面。由此可知，三角形，平行四边形等等都是面图形。

　　但是否任意三点都能确定一个平面呢？答案是否定的。其理由，请同学们自己给出。

　　进一步，空间中的任意四点是否都在同一个平面上呢？不一定。比如，梯形的四个顶点在同一个平面上，但如图4中的三棱锥的四个顶点就不在同一个平面上。

 
图 4