完美的正方形分割_数学论文

　　正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。

　　对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。

　　二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。

 
图1                           图2

　　现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。因而图1、图2是两个最完美的长方形的正方分割。

　　数学家们在当时是怎样想出上面这些分割的方法呢？他们也与我们遇到一个新问题时一样，总是通过不断地尝试，细致地分析，反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才达到成功的。比如，在初中的基础上，拟出一个图形，如图3，设它是一个长方形的正方分割。为便于分析，我们引进三个未知数，设其中的三个小正方形的边长分别为x、y、z。由此顺次推出其他正方形的边长为x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z。

 
图3                            图4
 

　　 因为图3是一个长方形，那么它的对边就应该相等，此时，x,y,z应满足下面的关系：

　　将这个方程组整理得

　　也就是

　　

　　若取Z=1，就有x=4,y=10。将它代入图3就得到图1的长为33、宽为32，且阶数为九的长方形的正方分割。

　　那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，众说纷纭，莫衷一是。直到本世纪三十年代末，德国的一位数学家发现了正方形的一种正方分割后，才算有了定论。后来，人们的目光又投向了一个新的目标，寻求正方形的一种阶数最低的正方分割。
 
　　在这一征途上的攀登是艰难的。到了七十年代，数学家才在计算机的帮助下，圆满地解决了这一问题。现已证明，4给出的21阶的正方分割是阶数最低的一种分割，因而，图4是最完美的正方形的正方分割。