“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题 一年来工作总结和明年的工作计划_数学论文

为了促进中学数学课程内容的现代化；推进信息技术在数学教学过程中的普遍应用；充分利用信息技术的优势，为学生学习与发展提供有力的学习工具和丰富多彩的数学教育环境；改进数学教材的呈现方式、学生数学学习方式、教师的数学教学方式；培养学生的创新精神和实践能力。课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心（人民教育出版社中学数学室）在全国教育科学“十五”规划国家重点课题“新基础教育课程教材开发的研究与实验”中申报了子课题“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”。

本课题研究的预期成果是在现行《全日制普通高级中学教科书·数学》的基础上，研究编写体现数学课程内容与信息技术整合思想的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）·数学》。

《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）·数学》从2002年秋季开始，在北京、广东、云南的一些学校进行实验。围绕教科书的实验，同时进行相关的研究工作。

本课题从2001年8月在广东省深圳市召开的“全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会”开始酝酿，到2001年10月在北京召开课题启动会正式确定成立“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题。当时，参加此项课题研究的除课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心的同志外，还有南京师范大学附属中学陶维林、上海市曹杨第二中学桂思铭、广东省深圳市深圳中学郭慧清、广东省教育厅教研室徐勇、北京教科院基础教育教学研究中心康杰、云南省昆明市第十中学白涛。从2002年8月开始，陆续有北京十一学校张鹤、候立伟，广东省深圳市翠园中学张振国参加课题的研究工作。以上成员熟悉技术、具有丰富的教学经验，在各自单位都是骨干，他们的参与使课题研究具备良好的队伍基础。

下面分五个方面介绍课题一年来的工作和明年的工作计划。

一、教材编写

教材编写思路是依据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（《全日制普通高级中学数学教学大纲》），在《全日制普通高级中学教科书·数学》的基础上，不改变现行教材的体系结构、章节顺序，通过增加素材，改进教材的呈现方式，扩大教材的容量，提高内容的深度和广度，编写体现数学课程内容与信息技术整合思想的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）·数学》

以教材编写为课题组的核心任务，从2001年10月课题启动会开始，到2002年11月，围绕教材编写，课题组共开了9次工作会议。

（一）课题启动会（第一次工作会议）

2001年10月5日～7日在北京怀柔峡谷宾馆召开了课题启动会。会上，美国德州仪器公司教育产品事业部彭东航、蔡虎，北京教科院基础教育教学研究中心曹福海、郭立昌、康杰，南京师范大学附属中学陶维林，上海市曹杨第二中学桂思铭，广东省深圳市深圳中学郭慧清，广东省教育厅教研室徐勇，云南省昆明市第十中学白涛，以及课程教材研究所的同志围绕信息技术与课程教材改革以及中学数学教学进行了充分的研讨，特别是研讨了以TI图形计算器为核心的TI手持技术在中学数学教学中的运用。

会议确定成立“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题组，对高中数学课程教材与信息技术整合的关系进行研究。初步计划依据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》，在现行《全日制普通高级中学教科书·数学》的基础上，研究编写体现数学课程内容与信息技术整合思想的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）·数学》。并且以《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第一册（上）“第二章 函数 2.9函数的应用举例”为样节，探讨教材内容与信息技术整合的模式。

（二）第二次工作会议

2001年10月22日～26日在上海金沙江大酒店召开了第二次工作会议。会议主要内容是讨论第一次工作会议确定的样节“第二章 函数 2.9函数的应用举例”。课题组的成员对样节的写法提出了很多宝贵性的意见。通过讨论，大家的意见逐步趋向一致，初步形成了体现信息技术与课程内容整合的洋节。

会议布置、分配了下一段的具体工作任务，即以《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第一册（上）“第二章 函数”为基础，参照样节的讨论，写出与信息技术整合的样章。

（三）第三次工作会议

2001年11月16日～18日在人民教育出版社召开了第三次工作会议。会议主要内容是讨论第二次工作会议确定的样章。在讨论的基础上，基本形成了体现信息技术第二章的雏形。同时，布置了下一段任务，即初步完成第一册（上）的初稿，在第四次工作会议上讨论。

（四）第四次工作会议

2001年12月7日～9日在北京牡丹宾馆召开了第四次工作会议。会议主要内容是讨论第一册（上）“第一章 集合和简易逻辑“、”第三章 数列“中与信息技术整合的相关内容，形成信息技术与课程内容整合思想的第一册（上）的初稿，为第五次工作会议讨论最后的书稿做必要的准备。

（五）第五次工作会议

2002年2月5日～10日在海口市召开了第五次工作会议。会议主要内容是最后审定第一册（上）的书稿，初步确定与教科书第一册（上）配套的教师教学用书的编写思路，一个显著的特点是，教师教学用书要突出技术实现的步骤，给出具体的操作程序。

（六）第六次工作会议

2002年5月1日～4日在昆明市召开了第六次工作会议。会议充分研讨了对“数学实验“栏目设置的认识；讨论了教科书第一册（上）编辑加工中的一些问题；确定本套教科书的名称为“《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》”；讨论并确定了与教科书配套的“教师教学用书“的体例、编写要求，并对已完成的初稿进行了逐章研讨，提出了修改意见；讨论了8月中旬的教材培训工作，研究了培训内容，并作了具体的培训分工，落实了培训任务；布置了后一阶段的工作，特别是第一册（下）的编写工作。另外，对教材实验学校的确定等进行了研究。

章建跃对本次会议进行了综述（详见附件二：昆明会议综述）。

（七）第七次工作会议

2002年8月16日～20日在北京密云召开了第七次工作会议。会议主要内容审阅教科书第一册（下）“第四章三角函数”和“第五章平面向量”初稿。研究部署下阶段工作安排，包括教师培训的安排、相关教研工作的开展等等。

与此同时，《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》第一册（上）由人民教育出版社正式出版，在TI公司的支持下，配套的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》第一册（上）教师教学用书白皮书也印制完成。

（八）第八次工作会议

2002年10月1日～6日在成都市召开了第八次工作会议。会议主要内容是讨论并最终确定《普通高级中学教科书（信息技术整合本）·数学》第一册（下）的书稿，初步讨论《普通高级中学教科书（信息技术整合本）·数学》第二册（上）的书稿，研究部署下一阶段的工作。

（九）第九次工作会议

2002年11月7日～10日在昆明市召开了第九次工作会议。会议主要内容是在第八次工作会议讨论的基础上，继续深入讨论《普通高级中学教科书（信息技术整合本）·数学》第二册（上）“第六章不等式”、“第七章直线和圆的方程”、“第八章圆锥曲线”的书稿。

在一年的教材编写工作中，大家齐心协力，积极探索，求真务实，为以后的工作打下良好的基础。

通过一年多的讨论和实践，大家思想逐步统一，章建跃执笔的“中学数学课程教材与信息技术整合的思考”一文（详见附件三：中学数学课程教材与信息技术整合的思考）已成为本套教材编写的重要指导思想。

二、学术交流

（一）Franklin Demana教授和Bert K. Waits教授来课程教材研究所访问

美国俄亥俄州立大学数学系FranklinDemana教授和BertK.Waits教授同为计划的创始人。T3是英文“TeachersTeachingwithTechnology”的缩写，意为“教师使用技术教学”。T3是一个国际性的教师群体组织，主要由使用手持技术进行教学的教师组成。T3的宗旨是为世界各地合理使用技术进行教数学和科学的教师提供最好的专业的发展计划。

2001年11月和12月，FranklinDemana教授和BertK.Waits教授先后来课程教材研究所，与课题组的同志进行了广泛的学术交流。两位教授提到的“多元联系表示”（multiplelinkedexpression）、信息技术促进（enhance）数学教学、发挥信息技术的力量（power）等观点，已成为本项课题研究的重要指导思想。

（二）第十四届T3国际年会

应美国俄亥俄州立大学数学系BertK.Waits教授的邀请，课题组成员章建跃、张劲松、李海东三人，在美国德州仪器（TI）公司的资助和TI公司北京办事处教育产品事业部蔡虎先生的陪同下，参加了2002年3月15日～17日在加拿大卡尔加里市（Calgary，Canada）举行的第十四届T3国际年会（详见附件四：技术·教师·教学[1]）。

会议期间，还与国际同行进行了广泛的学术交流：（1）与Holt,RinehartandWinston和KeyCurriculumPress两家出版社进行了小范围的交流，了解了教材编写、版式设计、教材编排、教材实验、教材修订等方面的问题，还了解了教科书中图形计算器界面中图片的具体处理方式。KeyCurriculumPress与人民教育出版社有过良好的合作。KeyCurriculumPress出版的Geometer’sSketchpad3.01在中国大陆授权人民教育出版社汉化出版。现在升级到Geometer’sSketchpad4.01，功能大大增强。目前正积极考虑与人民教育出版社的进一步合作。KeyCurriculumPress总裁和Geometer’sSketchpad4.01设计者准备今年5月来京，与人民教育出版社正式讨论合作的具体事宜。（2）与ZhongheWu和TingyaoZheng的座谈交流。ZhongheWu和TingyaoZheng是在美国工作多年，从事数学教育研究的华人学者。双方认为，中美在社会、政治、经济、文化方面存在的巨大差异，造成了教育模式上的巨大差异，双方应互相学习，取长补短。

（二）教育技术与教学改革暨全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会

2002年8月16日~18日，中国教育学会中学数学教学专业委员会与美国德州仪器（中国）有限公司、人民教育出版社合作，在北京京燕饭店主办了“教育技术与教学改革暨全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会”。课题组的成员参加了本次研讨会，课程教材研究所章建跃博士代表课题组作“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”（详见附件三：中学数学课程教材与信息技术整合的思考[2]）的报告，引起与会代表的强烈反响。在中国教育学会中学数学教学专业委员会专家咨询会上，专家对《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》第一册（上）的出版给予积极的评价。

在小组讨论会上，课题组成员郭慧清、白涛、陶维林、桂思铭详细介绍了《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》第一册（上）三章的内容，会议代表积极踊跃，以极大的热情参与了小组交流活动。

三、课题实验

从2002年秋季开始，以《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学》第一册（上）为主要载体的“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题在北京、广东、云南三地39所学校（详见附件五：北京、广东、云南三地实验学校名单）8000名学生中进行试验。

本项课题实验以教材实验为主要载体，带动教学、学习、评价等相关子课题的进行。为了保证课题实验正常、科学、有序、规范地进行，课题组公布了课程教材研究所“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题试验工作方案（详见附件六：课程教材研究所“高中数学教材与信息技术整合的研究”课题试验工作方案）。

（一）课题广东实验区开题会

2002年9月7日，“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题广东实验区开题会暨实验学校挂牌仪式在广东省深圳市深圳中学举行，课程教材研究所刘意竹、章建跃以及广东省教育厅教研室的领导，广东地区九所实验学校的领导、教师，课题组成员徐勇、郭慧清、陶维林、白涛、张振国等参加了此次活动。

（二）课题云南实验区开题会

2002年11月7日，“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题云南实验区开题会暨实验学校挂牌仪式在云南省昆明市邦克饭店举行，课程教材研究所章建跃，云南省人民政府、云南省教科院、昆明市人民政府、昆明市教育局的领导，云南地区六所实验学校的领导及教师，课题组成员郭慧清、陶维林、白涛、张振国、桂思铭等参加了此次活动。

四、师资培训

这次课题实验的目的之一是改进过去教材培训的模式，为教师的专业化成长探索新路。教材培训与技术培训并行并重，教材编写者即进行教材培训，又进行技术培训。实验区的全体实验教师都要接受培训，培训采用交互的方式进行。教材培训以案例分析为主，辅之以教材的整体介绍，培训的具体方式是：

1．教材总体介绍

包括编写的目的、指导思想，教材的总体设计，教材实验中应注意的问题，等等。

2．以案例分析方式进行的教材逐章解说

（1）整章内容的总体介绍；

（2）以某一典型内容为例的教学任务分析；

（3）教学情境设计示例；

（4）使用信息技术的基本设想；

（5）信息技术介入后对学与教产生的影响的分析。

要求充分利用信息技术的优势，用教师能够理解的具体实例进行说明。

（一）深圳：课题广东实验区第一次工作会议（2002年9月7日～8日）

章建跃介绍了这项课题总的情况，白涛、郭慧清、陶维林分别介绍了教科书第一册（上）第一章、第二章的有关内容，并对相关的技术使用进行了培训。

（二）北京：教科书第一册（上）第一章、第二章培训（2002年9月14日～15日）

章建跃介绍了这项课题总的情况，白涛、郭慧清、陶维林分别介绍了教科书第一册（上）第一章、第二章的有关内容，并对相关的技术使用进行了培训。

（三）潮阳：课题广东实验区第二次工作会议（2002年10月19日～20日）

关于此次会议的详细情况，见附件七：课题广东实验区第二次工作会议纪要。

（四）昆明：教科书第一册（上）第一章、第二章、第三章培训（2002年11月7日～8日）

章建跃介绍了这项课题总的情况，白涛、郭慧清、陶维林、桂思铭分别介绍了教科书第一册（上）第一章、第二章、第三章的有关内容，并对相关的技术使用进行了培训。

（五）中山：课题广东实验区第三次工作会议（2002年11月29日～30日）

桂思铭介绍了教科书第一册（上）第三章的有关内容，郭慧清、张振国对教师进行相关的技术培训。

（五）北京：教科书第一册（上）第三章培训（2002年12月1日）

康杰介绍了教科书第一册（上）第三章的有关内容，并对教师进行相关的技术培训。

五、明年的工作计划

（一）教材编写及修订

1.教科书编写

2．教师教学用书编写

3．教科书修订

4．教师教学用书修订

（一）学术交流

1．全国现代教育技术与中学数学教学改革课例展评、交流与评比活动

本次活动由中国教育学会中学数学教学专业委员会主办，2003年4月下旬在广东省深圳市北京师范大学附属南山学校举行。课题组拟作为单独一个群体参加这项活动，按活动的要求，推荐实验区的优秀教师参加大会的课例展评、交流与研讨；准备为大会提供一堂信息技术与课堂教学结合的公开课，供大会观摩、交流与研讨；在大会上介绍本课题的有关情况。同时，单独作为一个小组，在小会上进行更为广泛、深入的交流、研讨活动。

2．全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会

中国教育学会中学数学教学专业委员会将于2003年8月中旬在上海市主办

全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会。本次活动将以北京、广东、云南等课题实验区的教师、教研人员为主，上海、成都、新疆等地的教师也将参与。在本次会议中，课题组成员将围绕课题开展的情况，进行大会报告、小组交流等活动；同时，准备为大会提供一堂信息技术与课堂教学结合的公开课，供大会观摩、交流与研讨。

3．参加国内外有关信息技术与中学数学教学改革的一些学术性会议。

参加学术交流的目的一是展示课题本身的研究成果，二是积极向有关同行学习，借鉴先进的经验，为课题广泛、深入的研究充电加油。

（三）课题实验和师资培训

在北京、广东、云南课题实验区的基础上，稳步扩大实验区。积极做好第一册（下）、第二册（上）的师资培训工作。

拟于2003年8月中旬，在上海举办全国TI手持技术与中学数学教学改革研讨会期间，进行课题实验区的经验交流活动，并对课题实验情况进行阶段性总结。

（四）联合考试

根据课题组成员的意见，拟于2003年1月对北京、广东、云南课题实验区的实验学校进行联合统一考试测试，目前正在规划中。

[1]《课程 教材 教法》2002年第8期

[2]《课程 教材 教法》2002年第10期

附件二

昆明会议综述

时 间：2002年5月1日～2002年5月6日

地 点：昆明·云南理工大学

参加人员：章建跃，方明一，张劲松，李海东，陶维林，桂思铭，徐 勇， 郭慧清，白 涛，康 杰，蔡 虎

本次会议完成了三项任务，一是讨论并确定了“教师教学用书”的体例、编写要求，并对已完成的初稿进行了逐章研讨，提出了修改意见；二是讨论了8月中旬的教材培训工作，研究了培训内容，并作了具体的培训分工，落实了培训任务；三是布置了后一阶段的工作，特别是高一（下）实验教材的编写工作。另外，会议期间对教材实验学校的确定等进行了研究。

一、 关于《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）·数学》

教师教学用书

教师教学用书的编写应当贯彻实验教材《编写纲要》中提出的指导思想。鉴于本教材改革力度较大，具有开拓性，因此，在教学参考用书中应给使用教材的教师尽量详细的指导（特别是在利用信息技术转变学生的学习方式、教师的教学方式，培养学生的创新精神和实践能力等方面的指导）。

“教师教学用书”包括以下栏目：总体设计、教材分析、习题解答、教学设计案例、研究性学习案例、信息技术学习材料、学习资源。

1．总体设计：本章知识结构框图；学习目标，内容安排，课时安排，学法指导、教法指导。

本栏目只对全章进行概括性介绍，重点说明本章的设计思想。其中：

“本章知识结构框图”主要用框图的形式表述出本章的知识结构，以利于教师从整体上把握本章知识的发生发展脉络。

“学习目标”（与“教学目标”的提法有所区别）主要应说清楚学生通过学习本章内容应达到的要求，在表述上尽量用“使能”动词，即用“能”、“会”等动词，因为“学习目标”应当是学生主动追求的。另外还应当尽量做到目标的可测性。如“理解函数概念”这样的目标就不具有可测性，而“能判断是否为偶函数”就具有可测性。“学习目标”应当尽量表述得详细一些，知识、技能、能力以及创新与实践等方面都应当考虑到，当然，在“能力”、“情感”这样的“隐性目标”上，不能搞形式主义，而应当把它渗透在知识和技能的学习之中。

“内容安排”可按照全章内容的编排顺序来写，主要应当说清楚内容的前后逻辑关系以及重点、（对大多数学生来说的）难点等。

“课时安排”可根据教学大纲和原教师教学用书的分配作出适当调整，这里要根据自己的教学经验提出课时分配的建议。

“学法、教法指导”主要是对学生的学习以及教师如何引导学生学习作出分析，特别要注意如何使能力、情感的培养渗透在知识技能的教和学的过程中的分析，另外，还应当对如何使用信息技术来帮助学生学习提出建议。当然，这里的建议是概括性的。

2．教材分析：以小节为单位进行的教材分析，特别强调具体的案例片断的使用，以利于教师准确把握相关内容。包括：本节知识结构；教学任务分析；重点、学生学习过程中可能出现的困难和问题（这与过去的“难点”的提法有所区别）；教材编写的意图；如何使用信息技术；补充例题，等等。这些内容不必列出条目，而应当在具体内容的分析过程中得到体现。

“本节知识结构”应当讲清本节的知识点及其发生发展过程（逻辑关系），必要时还应当把学习本节内容时所涉及的前后相关知识也做个交待，也可以采取“知识框图”的方式表述。

“教学任务分析”：有效的数学教学，首先取决于对课堂上应当做什么作出正确的决定，还要对如何实现这些决定进行分析并提出实施的步骤。从教学设计的角度看，实际上就是一个教学任务分析的问题。

在进行教学任务分析时，应当陈述学生通过教学活动后在数学知识、技能、能力和情感态度方面的变化，并要用准确、明确的语言表述出来，另外，还应分析达到这些变化的途径（学习的类型）。心理学家认为，任务分析大致可以区分为四大类，即过程分析、能力（或技能）构成成分分析、专家—新手差异分析和综合分析。具体请参见“附件”。

“教学任务分析”与我们熟悉的“学习目标”相类似，但它比“学习目标”更加详细具体地表述了关于知识点、数学思想方法以及能力和情感等方面的认知要求，而且还提出了达到这些目标的具体途径。

“重点”应当包括数学思想方法、数学能力方面的内容。编写时，大家可以根据自己的教学实践经验，指出学生在学习本节内容时可能出现的困难，特别是在理解概念（原理）的过程中可能出现的问题，并要提出解决困难的建议（理解概念的本质最好的方法是让学生认识概念的变式，在变化的情景中进行概念的概括活动）。

“教材编写意图”应当讲清“为什么要这样写”。包括学习相应内容所应具备的认知发展基础，如何理解其中的一些关键词、句，知识背后蕴含的数学思想方法，突破重点、难点的建议（应当用一定的实际案例来说明），如何渗透“隐性学力”（数学能力、情感态度等）的培养。例如，在“等差数列的前n项和公式”的分析中，应当重点说明：向学生直接说出或让学生看书而知道公式是怎样得到的，并不等于学生已经掌握了公式推导过程中所蕴含的数学思想方法，即“求平均数”和“转化”（或“化归”），学生也不见得就能够灵活应用相应的数学思想方法去解决问题（这里就表现出相应的数学能力）。这就需要通过教学设计，让学生经历公式的获得过程，并要给以适当的应用公式解决问题（变式问题）的练习机会。例如，可以安排如下的学习情景：

1．求和：1+1+1+……+1（n个1的和）；

2．求和：1+2+3+……+100；

3．求和：1+2+3+……+n；

4．求和：1+3+5+……+（2n-1）；

5．已知数列为等差数列，公差为d，求它的前n项和；

6．求“方阵”中所有数的和：  

1901 1902 1903…1949 1950

1902 1903 1904…1950 1951

1903 1904 1905…1951 1952

…………

1950 1951 1952…1998 1999

在最后一个问题中，如果从头到尾求和，或者先分行（列）求和再进一步求和，这都不是理解了“求平均数”思想（也是得出等差数列前n项和公式的主要思想）的表现。实际上，从“求平均数”的思想来看，就是。

这个做法才真正反映了学生掌握了“求平均数”思想的精神实质。所以，我们在教学过程中，不能只看学生能否获得正确结论，更重要的是要看学生使用的方法，而且要看方法是否反应了问题的本质（这就是为什么强调要让学生对自己的解题方法进行反思、寻找最优解法的理由，最优解法不一定就是最巧妙的，而是那些具有普遍意义的、反映问题本质的解法）。

对于教材中的例题，应当说明选它为例题的用意，要达到什么目的。另外，还可以分析例题功能挖掘的途径。应当循序渐进地安排例、习题，使学生受到严格的数学“双基”训练（这里讲的训练不能与机械重复性训练等同），并且还要使学生在一种变化的情景中进行练习。例如，由例题而演化出的“变式题”，这是学和教的过程中“举一反三”、“触类旁通”的重要手段。对于例题的解答，要特别注意解题思想的分析，对不同解题思路的进行比较，引导学生追求最佳解法（这样做的意义如上所述）。必要时可以考虑提供补充例题，特别是补充使用信息技术帮助学生深化概念学习、灵活应用知识方面的例题。

在使用信息技术的建议中，应当贯彻“必要性”、“广泛性”、“活动性”、“可操作性”、“平衡性”等原则，恰当体现信息技术的优势，发挥信息技术的力量（power），使信息技术在数学学习中的工具性作用得到充分体现。还要在为学生提供“多重联系表示法”（multiplelinkedexpression）上提出建议，即用概念的、符号的、图形的、数据的、表格的等多种表达方式，例如，先提供图、表，再提供文字或符号的，或者以组合的方式给出各种表达方式，或者是以动态的方式给出，等等，这样的表述构成了一个具有挑战性的学习情景，能够引发学生的思考，给学生提供探索数学规律、发现数学本质的机会（promotesactivestudentlearningexploration）。在信息技术环境中，“多重联系表示法”的潜力之所以能够得到充分发挥，重要原因是计算机或图形计算器使得功能强大的图形表示法（抽象的数学得到了直观表示）成为可能，而且还可以对图形直接进行局部处理（如局部放大、变换信息在图形中的空间排列位置、重复引起变化的关键因素、动态显示等），从而对数学对象的细节进行观察，这就会使得学生发现数学对象不同方面的内在联系的机会大大增加，并为理解数学对象的本质特征奠定了坚实的基础。这里特别要指出的是，“多重联系表示法”对于学生理解数学有重要影响，其实质是对同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等等）给出几种不同的表示，不同的表示反映了数学对象不同方面的特征，在这样的环境中，学生可以在教师的引导下，在把握数学对象不同方面的基础上，将不同表示法中所蕴含的信息组合在一起，这就使得建立数学对象不同方面的联系的可能性大大增加了，教师再进一步地引导学生抽象概括，那么，学生把握数学对象本质特征就更加容易了。我们认为，“多重联系表示法”的思想与我们所熟悉的“变式教学”思想是完全一致的。总之，在保持我们传统教学中原有优势的前提下，在信息技术的支持下可以使所学的数学知识获得多样化的表达方式，极大地拓展数学学习空间，极大地支持学生的学和教师的教，增强（enhance）学生对数学本质的理解，使学生在信息技术环境中开展高水平的、深层次的数学思维活动，使学生的自主探究性的学习成为可能并得到落实，还可以引发学生的数学学习兴趣，使学生学的更加生动活泼些，更加富有成效些。这里需要我们把握好传统的以纸笔运算、推理、作图等为主要手段的数学学习与在信息技术支持下的数学学习之间的平衡（balance），既使得数学中的基础知识和基本技能得到落实（这里必须有学生亲自动手进行运算、推理、作图等的实践），同时，又在信息技术的环境中，让计算机或手持技术去完成那些繁琐的计算、复杂的作图等，并利用技术的放大、跟踪、近似等各种功能，给学生开拓观察、思考、归纳、猜想的空间，使得学生有更多的时间和机会从事高水平数学思维、理解数学本质的活动。应当使得信息技术支持下的学习情景中，既包含“明确知识”（数学的概念、原理、公式、法则等结论性的知识），又包含大量“默会知识”（体现在数学活动过程之中的数学思想方法、数学技能等需要学生通过亲身体验而意会的知识）。

补充例题主要考虑为教师提供更多的使用信息技术进行教学的选择机会，把一些精彩的但不便于在教科书中出现的内容提供给教师参考使用。同样的，补充例题应当给出命题意图以及详细解答。

3．习题解答：应当正确认识习题的功能。习题不仅有巩固所学知识的作用，而且还有深化概念学习，更深刻地理解知识，开展研究性学习，应用知识解决实际问题，培养学生的数学能力、创新精神和实践能力等拓展学习空间的作用。习题解答的过程也是一个对数学知识学习进行反思的过程，可以起到纠正对知识的不正确理解的作用。习题是教材整体中的一个有机组成部分，习题解答是正文学习的延续。因此，在“习题解答”中，不仅应当给出问题解答的过程，讲清楚“可以这样解”，而且还要分析解答过程中所体现的数学思想方法，说明“为什么可以这样解”，对问题可以如何进行拓广、延伸，有的还可以用“开放题”的思路对问题进行变化（可参阅戴再平主编的《高中数学开放题集》、《开放题——数学教学的新模式》等书，上海教育出版社出版）。另外，还可以考虑在习题解答中补充讲解一些拓展、加深的内容——目的是体现与信息技术整合以后，数学学习内容会发生怎样的变革。

4．教学设计案例：以某些典型内容为例，进行教学设计的示范，应当是一个完整的课堂教学案例。与人们所熟悉的“教案”有些类似，但是教学设计的内容更加丰富、具体，所涉及的范围更广，对教学的指导意义更大。具体应当包括下面一些内容。

（1）教学任务的分析。可以根据前面提到过的几个方面进行分析，重点应当对学习相应内容时的认知要求进行分析。在数学基础知识和基本技能方面，特别要注重数学思想方法的分析，还应当根据大纲的要求，对学习相应知识时所应达到的数学思维水平进行分析（关于教学任务分析的有关理论和具体做法，可进一步参阅顾泠沅主编的《21世纪数学教育探索丛书》，上海教育出版社出版）。

（2）学习（教学）情境设计。这里应当着重叙述达到相应的认知要求时所应当选取的学习素材、学习程序的安排、采用的技术手段、师生及生生互动方式、对学习过程的监控方式以及评价方案等等，并且应当具体说明这样做的理由。学习（教学）情境的设计非常重要，应当认知对待。

（3）使用信息技术的设想。这里应当重点说明如何使用信息技术来帮助学生和教师更好地达到学习目标。要注意发挥信息技术工具的一些特殊功能，如计算、绘图（特别是动态作图）、列表、迭代、跟踪、显示或隐藏、闪动等等，为突破数学抽象性所造成的学习困难提供条件，并引导学生获得猜想与发现。  

在使用信息技术建构学习情景时，应当考虑如何利用技术工具的各种功能引导学生开展数学实验，特别是一些抽象的数学概念的建立，更要注意发挥技术的优势，通过学生的具体操作来帮助理解。例如，在学习函数与反函数时，可以利用电子表格帮助学生找到对应法则。运用电子表格帮助构造下列表格：

学生可能输入“C3－0.5”这样的法则来得出y，而当他们运用这条法则到y这一栏时，可以很快发现这个法则是不正确的。通常，学生在找到正确法则之前需要经过几次实验。显然，在函数反函数的学习过程中，让学生进行一些这样的数学实验，对于他们掌握互为反函数的两个函数之间的关系是非常有用的。这也可以使学生认识到，利用信息技术工具可以探索数学的一般规则。

（4）整合信息技术后对学与教所带来的影响。这里，应当用一些具体实例来说明。例如，在指数函数的性质的学习中，过去由于技术条件的限制，通常是在教师（或教科书）的要求下，学生用“描点法”作出有限的几个特殊函数的图像（通常是等），然后就让学生观察这几个图像来讨论指数函数的性质。在这样的教学过程中，学生对于为什么要画这几个函数的图像，为什么有限的几个函数图像就可以代表一般的，为什么要把底数a分为0＜a＜1和a＞1两个区间等等，都是不得而知的，所以对结论的正确性也不一定完全相信，学习过程比较被动。而在信息技术环境中，教师可以利用技术工具强大的作图功能，先引导学生随意地取a的值（不一定是2、3等简单数），并在同一个坐标系内画出图像（这里教师应当在a的取值的典型性上作些引导），理论上讲可以在同一个坐标系内画出容易多的函数图像。而在工具作图的过程中，学生可以非常清楚地看到底数a是如何影响函数的性质的。由于函数的图像随着0＜a＜1和a＞1而自然地聚集，学生就可以非常清楚地看到a=1这条分界线，而函数的定义域、值域、单调性、特殊点（0，1）等更是一目了然的。在此基础上，再通过a的连续动态变化来演示函数图像的变化情况，从而让学生更加直观、清楚地看到指数函数的性质。在这样的教学中，对“为什么以a=1为分界点”，“过点（0，1）为什么要作为性质之一”等等的认识，都不是教师强加的，而是学生在自己的学习活动中获得的。这样的教学设计，使得教学方式从“指定式”、“命令式”转变为“引导式”、“启发式”，教学过程也是开放性的，学生的学习方式则从“服从式”、“接受式”转变成了“探索式”、“研究式”。在信息技术环境中，可以把教学设计的重点放在对知识的重新组织上，让学生从整体上对进行处理，通过改变a的值而实现对函数及其图像的实时变换（这里渗透了“参数思想”），这样就使学生顺利地实现了在函数的解析式表示与图像表示之间的转换，并使“参数”a、函数以及它的图像之间建立起联系，突破了由于数学的高度抽象性而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境，图像的直观可以引导学生把思考的重点放在a=1和特殊点（0，1）上，从而顺利地概括出性质。在这个过程中，还可以使学生体验到应当如何进行“数学研究”。在信息工具所营造的认知环境中，学生可以从一种新的角度去探究数学问题，在一种动态变化的过程中去认识数学概念的本质。例如，在性质的讨论中，通过设计a的连续变化的程序（0 1 ∞），把函数的解析式表示、图像表示以及参数a之间的内在联系紧密地结合在一起，并使三者都得到了直观、动态的表示，这就使得学生所面对的数学对象和数学过程的性质发生了改变，这样必然会引起学生对数学概念本质的认识过程的变化。在这样的认知环境中，操作、试验、猜想、发现等过程都变得具体而清晰，尝试错误的成分大大减少，数学思维的目的性大大增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考的程序性也大大增强，这就使得学生通过自主的、积极主动的数学思维而成功地建构数学概念、解决数学问题的可能性大大增加了。

5．研究性学习案例。目前，尽管“研究性学习”成为课程改革的热点问题，但是对它的认识还是非常模糊的，有时甚至是混乱的。我们认为，“研究性学习”是中学数学学习方式的一种，应当大力提倡培养学生主动地、独立地探索未知世界的意识，但是应当加强教师对学生“研究”活动的指导。实际上，在我们的日常教学中，只要教师贯彻了“启发式”教学思想，注意发挥学生的主体作用，引导学生通过自己的思维学习数学，就一定含有“研究性学习”的成分。因此，不应该把提倡“研究性学习”理解为数学教学要“另起炉灶”。另外，还要特别注意处理好数学知识的系统学习与学生自主探究之间的关系，要对组织学生“自主探究”的困难有充分的认识。由于信息技术工具在学生“研究性学习”中可以发挥独特作用，信息技术所营造的认知环境与传统教学环境有很大的不同（这在前面已经有较多的表述），特别游离于“研究”活动的展开，因此，我们所编写的教科书及教师教学参考用书应当在“研究性学习”的研究方面有所作为。

关于“研究性学习案例”的编写原则，类似于“开放性、主体性、自主性、活动性”等提法，非常正确但过于空泛，对案例设计的指导意义不大，因此，在编写时大家可以根据自己对“研究性学习”的理解和自己的已有经验大胆创新，不提出统一的标准。我们应当有这样的信心：经过我们的共同研究与实践，可以对“研究性学习”提出我们的一家之言，而且是实实在在的、具有可操作性的，这对于创新精神和实践能力的培养在数学教学中得到具体落实也时非常重要的。

从“研究性学习”的课题来看，一般是具有综合性的，但在综合的层次上可以做些区分，大致可以分为与当前学习内容紧密相关的课题和综合若干章的知识应用型（或与相关学科综合）课题。前一种课题一般在某章或节的知识学习后出现（如课本中的“给药”问题、“函数应用举例”、“数学实验”等），后一种课题一般在一册书的最后出现。就目前的情况看，“研究性学习”课题可以从易到难地展开，以与当前学习紧密相关的课题为主，达到深化知识的理解、建立相关知识的紧密联系从而促进学生结构功能良好的数学认知结构的形成的目的，同时要兼顾知识的创造性应用，特别要注意与信息技术的整合。“研究性学习”课题不应该是一个数学题目，主要应当是一个有一定实际背景的、反映当前学习的数学知识的应用的问题，在教师组织、指导、参与下，由学生通过小组学习的方式自主完成“研究”。课题的选择应当有利于合作性学习的展开。

关于“研究性学习案例”的呈现形式，主要应当叙述清楚设计思路，具体操作可以留给教师。一般可以按照如下顺序来呈现：问题的提出——入门引导（如何通过设置“边界条件”将一个复杂问题转化为一个数学问题，包括问题的解决与哪些知识有关、可以使用哪些技术等）——问题分解（将一个综合问题分解为若干个易于解决的“子问题”）——“子问题”求解——将“子问题”的求解结果综合而获得原问题的解答，并解释原问题的解——拓展与深化——“研究”成果的呈现（以研究报告或小论文的形式，包含评价）。

为了方便教师操作，可以提供“研究性学习”过程记录表。

6．信息技术学习材料。从方便教师使用教材出发，首先应当提供教科书中涉及的（或者某些难度较大）“课件”的制作的全过程（因为技术培训时，往往把重心放在设备或者软件的功能上，教师用书中的技术部分应该针对性更强）。应当尽量详细地提供“数学实验”栏目中涉及的技术（制作过程），因为“数学实验”本身就是通过计算器或者计算机的操作进行“实验”（观察等），离不开即时出现的动态现象的观察、分析，整个过程操作比重较大。为适应使用不同软件的需要，可以同时提供用计算机与计算器两种工具下的制作过程，比如几何画板软件与计算器。

7．学习资源。为了充分体现信息技术整合的思想，要加强“信息”方面的内容。初步想法是根据本册所涉及的数学内容，为师生提供相应的中学数学学习网址、参考书目、中等数学教育杂志等方面的信息，以利于学生查阅。内容可以包括相关史料、拓展性学习材料、相关习题等等。

二、关于“数学实验”

“数学实验”这个词所要表达的意思是，当你的脑子中出现某种数学思想（一种想法）时，你就通过计算机或手持技术去实验一下。通常，这种实验是针对一些具体例子来进行的，如果你有了足够多的具体例证表明你的想法的正确性，那么就可以再进一步地通过逻辑推理的方式去证明它，而且证明的思想方法在很大程度上已经蕴含在具体例证的获得过程中了。实际上，“数学实验”体现了数学研究中具体与抽象的辩证关系。抽象性是数学的一个最显著特点。但是，数学的抽象是从具体中得来的。具体中蕴含了许多本质的东西。抽象不能离开具体，没有具体就会使抽象变成无源之水、无法感觉、无法把握。本质包含在具体之中。从具体中可以进行多次抽象，即抽象是有层次的、逐渐深入的；还可以从不同的角度进行抽象。数学结论往往是从具体例子中抽象出来的。所以，在数学问题的研究过程中，让学生自己举个具体的例子，让学生在具体例子的引导下先猜测一下问题的答案，对于启发学生的思维，获得问题的解决方法，都是非常重要的。实际上这样做的结果使得学生获得了对问题的具体而全面感知。学生不能打开思路，想不到好的解决问题的方法，主要的原因是不考虑具体的例子。学生解题如此，教师的教学也是如此。一个抽象的数学原理如果给学生提供了大量理解它所需要的具体例证（而不是在抽象层次上大讲特讲），学生也就不会感到抽象难懂了；为了让学生理解抽象的数学结论，先设置一个学生熟悉的具体情景，把抽象的结论寓于其中，使学生经历一个从具体到抽象的过程，学生对数学原理的理解也就变得自然了，数学也就变得具体、形象而生动了。当然，设置一个恰当的教学情景是一件极具挑战性的工作，需要我们的大智慧，而这正是我们设置“数学实验”这个栏目的意义所在。

“数学实验”与“研究性学习”课题有相似之处，都包含有“探究”的成分，但是，在层次上还是可以做些区分。如果数学结论是在探究过程中发现的（结论未知），这个过程我们把它界定为“试验”，将它与“研究性学习”相对应；如果是对已有结论（想法）的验证，那么我们将它界定为“实验”，与“数学实验”相对应，象我们通常做的“推论”、“变式”等也可被包含在其中。例如，让学生去测量大小不同的元的周长、直径，再计算周长与直径的比值，得出它们总等于常数π，从而使学生认识圆周率，这个过程就可以看成是“实验”。由于数学未知结论的探究实际上存在的困难性，因此，“数学实验”的前途是比较乐观的。

“数学实验”的目标：让学生真正动起手来，通过学生自己的亲身实践而获得对数学知识的深刻理解，体验数学