利用几何画板探究角α与sinα+cosα之间的联系_数学论文

提要 利用计算机进行数学实验，让学生通过动手实践，掌握 sinα+cosα的值与角α之间的内在联系．加深学生对基础知识的理解，并能在解题中进行应用．

主题词 数学实验 猜想 证明

一 实验预习题

已知sinα+cosα=，，求

二 实验目的：通过让学生动手实验，理解角的终边所在的位置对sinα+cosα取值的影响，让学生能在今后解题过程中，能根据sinα+cosα的值确定角所在的象限这一隐藏条件．

三 实验工具：几何画板

四 实验过程：

(一) 打开几何画板，建立直角坐标系，并在坐标平面作出一个单位圆；

(二) 在第一象限的单位圆圆弧上取一动点P，以原点O为端点，作射线OP，记单位圆与x轴正半轴交于点A，在点A与点P 之间的弧上取一点B，过点ABP 画弧ABP， 标记弧的内部；

（三）选中弧ABP， 度量弧ABP所对圆心角的度数并记为，计算

(四) 轻轻拖动圆上的动点P， 观察值的变化，并把观察到的现象记录在下表中；

表一

(五) 观察以上数据，写出实验结论或猜想；

表二

当 在第一象限时，； 当在第二象限时，-1； 当在第三象限时，-； 当在第四象限时，-1.

五 实验证明：

用数学知识推导证明实验所得结论或猜想．

证法一：利用几何方法 当角在第一象限时，.用三角函数线可知，三角形两边之和大于第三边即可证；又 ，当且仅当时“=”号成立．即 综上所述，当在第一象限时，成立． 当角在第二象限时，用三角函数线可知，三角形两边之差小于第三边即可证，即-1成立． 其余当角在第三象限时，当角在第四象限时，同理可证． 证法二：利用代数方法 先引入辅助角， ， 当时，， . 当在其他象限时同理可证．

表三

六 实验推广：

(一)．的取值范围与角终边所在象限有何联系？

答：当在第一象限时，；

当在第二象限时，；

当在第三象限时，；

当在第四象限时，．

(二)．，，三个式子之间有何联系？

　　 答：三个式子中，只要知道其中一个就可求出另外两个式子．其关系为：

　　　　 ；

　　　　　．

七 实验反思：

本案例是提供给学生的一个实验报告，在学生的实践中主要出现了以下几方面的问题：

（一）几何画板是一个功能十分强大的软件，在学生动手进行实验前应对学生进行系统的培训．如在本实验中，学生要能够利用[编辑]中的(参数选项)对实验中各数据的精确度进行调整，以便在观察数据时得到更准确的猜想或结论．

（二）在整个实验中要充分体现教师的引导作用．本实验不仅可让学生学会发现数学中的隐含条件，如预习题中条件，实际已告诉我们角只能是锐角，为解决整题提供了一个重要条件．还可以帮助学生复习三角函数中的符号法则，及研究角终边位置与的大小．教师在实验中既要帮助学生解决软件使用中碰到的技术问题，更主要的是鼓励学生多动脑，多动手．引导学生获得对所学知识的更深层次的理解，点燃学生思维的火花，提高学生学数学，做数学，用数学的意识．

（三）数学实验是我们在课改实验中的一种尝试．它首先要求教师要先过软件操作这一关，而这正是中学教师的弱点，对中学教师进行几何画板，TI图形计数器等软件的系统培训是推进课改的必要措施．其次，教师的教学不应仅停留在课堂上，而要延伸到课外．教师要做到能“导”，会“导”，因此提高教师本身的专业素养也是势在必行．