中、美两国初中学段“数与代数”领域内容标准的比较研究_数学论文

摘要：为了迎接新世纪的挑战，中、美两国都出台了新的数学课程标准。本文对中、美两国初中学段“数与代数”领域的内容标准进行了比较研究，分别从“数与运算”和“代数”两个部分对两国新世纪标准的异同点、优势与劣势进行了客观的比较分析，在此基础上，通过中、美国标准中的“数感”的比较分析，对中国的数学课程改革进行了反思，同时针对“数与代数”领域的教学提出了两点建议：①以“模式”为平台加强代数和现实生活之间的联系；②加强现代信息技术与“数与代数”教学的整合。

关键词：数学课程标准；数与代数；比较；模式；图形计算器

美国全美数学教师理事会( NCTM )在总结自1989年公布《美国学校数学课程与评价标准》以来美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见的基础上，提出了面向21世纪的课程标准，新的标准更名为《学校数学的原则和标准》( 以下简称美国《标准》)。在中国，为了落实教育部《面向21世纪振兴行动计划》，建立现代化的基础教育课程体系，数学课程标准研制小组于1999年召开首次工作会议^〔1〕 ，在向社会各界广泛征求意见的基础上，于2001年7月公布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》( 以下简称中国《标准》)^〔2〕 。下面，对中、美两国数学课程标准中的“数与代数”领域的内容标准作以比较。

在对“数与代数”领域的处理上，中、美两国采取了不同的方式。中国《标准》把“数与代数”领域作为一个整体给出标准，其优点是有助于沟通数与代数两者之间的联系，在教学上有助于整体把握；美国《标准》把“数与代数”领域分为“数与运算”和“代数”两部分，并分别给出标准，这种安排的优点是有助于两个教学内容的细化和深入，缺点是两者之间的联系体现得不够充分。为了使两国标准能够在一个平台上比较，我们把中国《标准》中的“数与代数”领域划分为“数与运算”和“代数”两个部分。下面分别从这两部分对两国的内容标准进行比较研究。

1 “数与运算”内容标准的比较研究

国家 标 准	中  国	美  国
理解数、表示数的方法、数之间的联系和数系	l  理解有理数、无理数、实数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小 l  借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值 l  能对含有较大数字的信息做出合理的解释和推断 l  了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根和立方根 l  了解近似数与有效数字的概念	l 能灵活应用分数、小数和百分数处理问题 l 有效率地比较和排序分数、小数和百分数，并在数直线上找到它们的近似位置 l 发展大于100和小于1的百分数的理解 l 理解并使用比和比率去表示定量关系 l 发展对大数的理解，理解并正确使用指数、科学表示和计算器符号 l 使用因子、倍数质因子分解、质数去解决问题 l 发展整数意义的理解并使用它们表示和比较量
理解运算的意义以及运算之间的相互联系	l  了解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算 l  理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算 l  能运用有理数的运算解决简单的问题 l  了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会进行有关的实数的简单四则运算 l  了解开方和乘方互为逆运算	l 理解分数、小数和整数的算术运算的意义和效果 l 使用加法和乘法的结合律、交换律以及分配律去简化整数、分数和小数的运算 l  理解并使用加和减、乘和除、乘方和开方的互逆关系去简化运算和解决问题
流畅的计算和做合情推理	l  会用计算器求平方根和立方根 l  能用有理数估计一个无理数的大致范围 l  能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值	l 根据条件，在心算、估算、计算器或计算机、纸笔中选择合适的方法和工具对分数和小数进行计算，并应用所选择的方法 l 为计算分数、小数和整数发展和分析算法并发展它们使用的流畅性 l 发展并使用策略去估计有理数运算的结果，评价并判断结果的合理性 l 为解决包含比例的问题产生、分析和解释方法，如换算和发现等比

上表是中美两国“数与运算”内容标准的对照表，从中可以看出两国《标准》在制定理念上是有所不同的。 中国《标准》偏重于学生对知识和技能的牢固掌握，美国《标准》偏重于学生对实际问题的有效解决。制定理念上的不同产生两国标准设计上的不同。中国《标准》“数与运算”领域按知识传授的先后顺序分为“有理数”和“实数”两个部分；美国《标准》这一领域分为三个部分，分别是“数系”、“运算”和“算法”。从中可以看出，中国《标准》的教学目标的重心在“双基”上，美国《标准》的教学目标的重心在知识的理解和问题解决上。从内容的广度上看，中国《标准》这一领域包含的内容要广一些，中国《标准》包含系统的无理数知识，而美国《标准》则仅仅包含少量的无理数知识，在中年级只是实现对无理数的一个初步理解的目的。从内容的深度上看，中国《标准》的教学要求要深一些，中国《标准》以实数为教学重点，而美国《标准》以有理数为教学重点，教学要求相对来说也比较浅。事实上，中国《标准》同原大纲相比在深度上已有所降低，如，在根式的运算标准中提出分母有理化为不要求内容，其目的在于，避免学生陷入重复和繁琐的代数操练中去，使学生有充足的时间接触生活，充分培养和发挥学生的想象力和创造力。这一出发点是值得充分肯定的。在案例的支持上，中国《标准》显得过于简单，仅仅罗列了若干个例题，对例题的阐释也没有给出，说是案例，其实质只是习题的示范。相比之下，美国《标准》在这方面做得就比较好，针对具体问题对如何教学有详尽的阐释和说明，案例虽不多，但起到了以点代面的作用，这显然比简单的罗列要强许多。在吸收1989年标准的经验、教训的基础上，美国《标准》开始重视基础知识和基本技能在解决问题中的重要作用。如，美国《标准》在总论中提出“中年级的数学教学将特别地集中在几个方面，……，学生将发展对有理数概念的深入理解，熟练地进行有理数的运算和估算，…… ^〔3〕 。”中国《标准》虽然没有明确提出这一学段的重点目标，但内容标准的要求体现出这一领域的仍然保留了“双基”教学的优良传统，不过从与原大纲的对比中发现对运算的要求中去掉了“熟练”的要求词语，说明“双基”的内涵又有了新的变化。在内容的扩充上，中国《标准》与原大纲相比，增加了有关大数的要求，而美国《标准》在这一领域对大数也有明确的要求。大数引入我国中学数学课程体现了数学课程与时俱进的设计理念，体现了以学生的发展为本的课程设计理念，这一点是值得充分肯定的。

2 “代数”内容标准的比较研究

上表是中、美两国“代数”内容标准的对照表，如上表所示，美国《标准》在这一领域提出了四个标准，概括地说是“模式、关系和函数的理解”、“代数符号的应用”、“数学建模”和“函数变化的分析”四个部分。中国《标准》这一领域分为“代数式”、“方程与不等式”和“函数”三个部分。美国《标准》的四个部分是并列的，并且贯穿了整个基础教育的各个学段，从幼儿园前一直到12年级，各个部分的要求随着学段的延伸而逐渐深化。中国《标准》的三个部分是按照知识的系统扩展来安排的，这种安排有助于学生掌握系统的知识和技能，从“代数式”到“方程与不等式”再到“函数”形成了一个连贯的体系，对具体知识和技能的掌握情况进行了详细刻画，如，在整式与分式部分对因式分解技能的要求为，“会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）^〔4〕”，这种详尽的可操作性要求有助于教师的教和学生的学。“代数”这一部分继承了中国数学教育的优良传统──重视“双基”，是中国标准中很精彩的一部分。笔者认为，中国中学生之所以在国际测试中成绩斐然和中国学生在这一学段建立起来的扎实的“代数”基础是密不可分的。在这一学段两国要实现的基本目标是一致的，即：完成代数的常量教学向函数教学的过渡，但在实现的方法上，两国标准有所不同，中国《标准》的实现途径为：代数式→方程与不等式→函数；美国《标准》的实现途径为：模式→关系→函数。中国《标准》的实现途径有利于学生掌握系统的知识和技能，学生的分析能力和运算能力较强。美国《标准》的实现途径有利于学生对函数概念的理解，有助于学生的应用意识的培养，有利于知识的迁移，从而有利于学生创新能力的培养。对于“模式”（pattern）的提法，大多数中国数学教育工作者并不十分了解，下面，我们通过美国《标准》中的一个案例来体会一下它的具体含义。案例：在中年级里的模式和关系的研究应当集中于和变化率不变的线性相关的模式。学生们将在解决问题中使用表、图、语言和符号表示并检查函数和模式的变化。例如，考虑下面的问题：查尔斯看到两个移动电话公司的广告。

Keep-in-touch提供的服务是每月基本费用20美元加上每使用1分钟增收0.10美元。ChitChat没有每月的基本费用，但是每使用一分钟收取0.45美元。两个公司使用的技术允许它们按照确定数量的使用时间去收费，它们并不象它们的竞争者一样使用四舍五入法去近似最接近的分钟。

学生们可以通过制表开始，制表可以按照使用的分钟数去对应两个公司相应的耗费，如图（a）。使用图形计算器，学生们可以在平面直角坐标系上作图表示由有序数对（分钟，花费）组成的点，从而获得两个公司的各自的图，如图（b）。一些学生可以用口头的形式描述图形中的模式：“Keep-in-touch支出20美元后，每分钟花费0.10美元。”另外一些学生可以按照使用的分钟数写出一个等式去表示花费（y）的美元，如y=20.00+0.10x。^〔3〕

从以上案例的介绍中我们可以发现，美国《标准》中的模式指的是存在于现实情境中的数量形式，关系指的是模式中数量之间的联系，函数是对关系的抽象概括，是模式中的一种。

从内容标准的延展性上看，美国标准通过“模式”的引入真正实现了抽象数学与现实的联系，把传统的代数内容延伸到了学生的生活空间，相比之下，中国标准的延展性有待于进一步加强。在技术的支持上，中国标准要落后于美国，是中国课程标准应当加强的一个环节。在对标准实施的阐释上，美国标准对中年级应当实现的重点目标有具体的说明和阐释，而中国标准在这方面就显得有些缺乏，其结果容易造成中年级代数教学的重点不突出，另外受中考的影响，许多教师会把每一知识点都当成重点，从而造成学生在时间上的浪费。

3 思考及建议

3.1 关于“数感”的思考

中国《标准》在“设计思路”中提出，通过课程内容的学习发展学生的数感，并就此作出了解释。数感的解释是：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释^〔4〕。”类似地，美国《标准》在“数与运算”标准的总论部分也有关于数感（number sense）的解释说明，“标准的中心是发展学生的数感──自然分解数的能力；使用特定的数，如100或1/2，表示指定的对象；使用算术运算中的关系去解决问题；理解10进制数系；评价数并理解数的意义；认识数的相对和绝对大小^〔3〕。”由此，引发了笔者深层次的思考。“感”指的是一种人对客观事物的感知，是对人的意识的一种描述，是人的主观产物。“感”有正误之分，对客观规律的正确感知有助于人的正确的实践活动，错误的感知会导致实践活动的失败。而“数感”的解释中的能够做什么或完成什么则表明了人的一种能力，《现代汉语词典》对能力的解释是，“能胜任某项任务的主观条件^〔5〕。”主观条件包括建立起来的正确感知和在实践中获得的技能等条件。美国是一个个人主义至上的国家，社会意识形态也非常复杂，信仰唯心主义的人不在少数，因此，美国《标准》中的“感”的使用是否科学值得考证。中国是社会主义国家，以辩证唯物主义为哲学基础。中国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》对学生辩证唯物主义的形成有明确的要求，在教学目的中明确提出：“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点^〔6〕。”中国数学教育的优良传统不仅仅是“双基”，还包括注重基本能力的培养等诸多方面，挖掘其根源可以发现它们的理论基础是辩证唯物主义。“双基”只不过是在辩证唯物主义的土壤里生长出来的一朵美丽的花朵，是辩证唯物主义在教学实践中的具体体现和灵活应用，是从一个侧面对我国50多年来的教育教学成功经验的总结和概括。综上所述，笔者认为，中国的数学课程改革的总体思路应当是：以辩证唯物主义为哲学基础，根据中国的具体国情，发扬注重“双基”和“基本能力”培养的优势，借鉴国外“注重培养学生的应用意识”、“注重教学与学生生活空间的联系”、“注重问题的开放性” 、“注重技术与数学教学的整合”、“注重评价方式的多元化”等先进的理念和经验，最终形成有中国特色的数学课程体系。纵观中国的数学课程标准可以发现，对辩证唯物主义观点的渗透教学并没有明确提出，这不能不说是一个遗憾。

3.2 以“模式”为平台加强代数和现实生活之间的联系

“如果我们希望学生学会运用数学，那就必须打破使数学与外界隔绝的障碍，尽可能应用于其它科学中去，以便使学生学会应用，并善于运用^〔7〕。”这是弗赖登塔尔关于数学和应用的一段精彩表述。中国《标准》的一个重要理念是，把数学扩展到学生的生活空间，培养学生的应用意识。但突破数学与外界的隔绝需要操作层面上的突破，引入模式就显得十分必要。模式指的是现实生活中存在的数量形式，揭示现实生活中隐藏的“模式”是代数的一项重要任务。揭示的过程是由浅入深的，由简单的表到图和语言，最后到抽象的函数符号解析式表达，这样引出的函数概念是丰满的，是有着大量现实背景的，因此有助于学生应用意识的培养，因为“迁移”的存在会使学生易于把函数作用于生活实际。通过给出具体的问题来加深这种意识会进一步增强代数和现实生活的联系，在具体问题中抽象出数学模型的过程的实质就是发现模式的过程。从现实生活→模式→代数的过程是学生发现的过程，是归纳的过程；从代数→模式→现实生活是演绎的过程，是应用的过程。模式是现实生活和代数之间的一个平台，分析中国《标准》可以发现坚实的数学“双基”教学和现实生活并无实质性的联系，和现实的联系充其量不过是会解几道应用题罢了，学生很难养成从现实世界发现事物的本质的习惯，而如果只会解决给定的习题，不会主动去发现问题和解决问题的话，猜想能力的培养就无从谈起，培养创新能力就只能成为一句空话。

3.3 加强现代信息技术与“数与代数”教学的整合

从长远的观点来看，现代信息技术的出现必将改变代数教学的本质。一方面，信息技术的使用将使大量繁琐、重复的计算操练得到简化，从而大大提高教学的效率，如，图形计算器的计算功能将使解方程的许多技巧大大淡化，取而代之的是在现实背景中发现方程的技巧和方法；另一方面，图形计算器的绘图功能将使图像和函数的给合更加紧密，从而大大提高教学的效果。

事实上，功能强大的图形计算器已经在许多发达国家开始普及，如法国、德国、日本等国家，值得一提的是法国在教育部的支持下已开展了针对图形计算器的使用的全国性普及，并在新的初中课程中提出，“所有的学生都要接触计算器，并且数学教学必须把它考虑进去^〔8〕。”图形计算器是针对数学教学开发的一种小型掌上电脑，具有绘图、制表、计算、编程和图形演示等功能，从目前的情况看，是改善“数与代数”领域教学的理想工具。中国是一个发展中国家，各个地区的发展还很不均衡，因此图形计算器的普及要有一个过程，需要有计划、有步骤地进行，在有条件的地区和学校可以先行推广，待条件成熟后再全国推广。

参考文献：

〔1〕数学课程标准研制小组，关于我国数学课程标准研制的初步设想［J］，课程?教材?教法，1999年第5期，17。

〔2〕刘长明、孙连举，中、美两国数学课程标准中初中学段“空间与图形”领域的内容标准之比较［J］，数学教育学报，2002年第4期，49。

〔3〕NCTM, Principles and Standards for School Mathematics, 2000, P32、p212、p223.

〔4〕中华人民共和国教育部制订，全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］，2001年7月，4、33。

〔5〕中国社会科学语言研究所词典编辑室，现代汉语词典（修订本）［M］，商务印书馆，1996年7月，921。

〔6〕中华人民共和国国家教育委员会制订， 九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）［M］，1992年6月，1。

〔7〕弗赖登塔尔著,陈昌平、唐瑞芬等编译，作为教育任务的数学［M］，上海教育出版社，第70-71页。

〔8〕Colette Laborde、孙连举、刘长明，法国数学教学中的技术整合［J］，数学教育学报，2002年第1期，56。