突出概念的本质，强调几何直观──对课程标准教科书“微积分”的若干思考_数学论文

摘要：与传统教材相比，普通高中数学课程标准教材在“微积分”内容的呈现方式上发生了很大变化，新教材突出导数、定积分概念的本质，强调它们的几何意义，淡化形式化运算。本文从教材编写者的角度谈谈自己的一些思考，并就如何搞好高中阶段“微积分”的教学工作提出一些建议。

关键词：课标教材；极限；导数的本质；定积分的本质；几何意义

与传统教材相比，普通高中数学课程标准教科书（以下简称为课标教材）中的许多内容在呈现方式上发生了很大变化，“微积分”部分尤为明显。下面是笔者在编写微积分教材的前前后后所做的一些思考。

一、突出导数、定积分概念的本质

从数学知识的逻辑关系上看，极限是学习导数、定积分概念的基础。以往的高中教材在编排上都是先讲极限再引入导数、定积分的概念，往往把导数、定积分作为特殊的极限来处理，即先讲数列的极限和函数的极限，再以极限为工具讲导数、定积分。尽管这种建立导数、定积分概念的方式具有严密的逻辑性和较强的系统性，但是，由于高中学生很难认识和理解极限的定义，他们在学习了极限以后，留在头脑中的印象往往是：极限就是一些形式化的计算。因此，这种把导数和定积分作为特殊的极限处理的呈现方式影响了学生对导数、定积分本质的理解。

课标教材^[1，2]根据课程标准^[3]的要求，充分注意高中学生的认知水平与特点，以及高中阶段对“微积分”内容的学习要求，不专门介绍极限的形式化定义及相关知识，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是直接通过膨胀率、速度、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，引入导数的概念，通过这些过程，使学生体会导数的思想，理解导数的含义；通过求曲边梯形面积等实例，引导学生了解定积分的思想方法。对所涉及到的极限问题，课标教材通过列表观察函数的变化趋势或几何直观等直观形象的方法进行处理，以突出导数与定积分概念的本质。

（一）导数概念的引入

课标教材首先从学生比较熟悉的吹气球问题入手，讨论气球的平均膨胀率；接着重点讨论高台跳水运动：假设运动员相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系，考察该运动员从腾空到入水的过程中的运动状况。通过研究该运动员的运动状况，使学生经历由平均速度到瞬时速度的过程，求出瞬时速度，为抽象出导数概念作铺垫。

为了求跳水运动员在s时的速度（瞬时速度），首先给时间在2 s处一个增量，然后分别在和的情况下，研究运动员在时间段和上的平均速度。考察当趋于0时，平均速度的变化趋势。课标教材通过列表计算使学生直观地把握以为自变量的函数的变化趋势：

表1

通过列表（表1）计算，由表1中函数值的变化可以清楚地看出，当趋向于0时，平均速度趋向于常数，这个常数（ ）就是该运动员在s时的速度，物理上称为瞬时速度。从上述过程可以看出，尽管课标教材中没有专门介绍极限的相关知识，但是通过列表计算，学生很容易把握函数的变化趋势；同时，列表计算观察函数的变化趋势的过程，实际上蕴涵着极限的描述性定义，反映了极限的思想。

再注意到运动员在2到之间的平均速度就是函数在相应的区间上的平均变化率，课标教材利用归纳推理，从特殊到一般，把上面研究跳水运动员由平均速度到瞬时速度的过程一般化，对于一般的函数，由平均变化率到瞬时变化率得到导数的概念。

这种引入导数的方式，不在极限的形式化定义上作纠缠，有助于高中生对导数概念的本质的理解。

（二）通过丰富的背景和广泛的应用理解导数的本质

导数有着丰富的背景和广泛的应用，课标教材让学生反复经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，并通过不断的应用导数解决实际问题，使学生进一步体验导数的本质。

引入导数的概念后，课标教材通过观察曲线上过点处的割线（是曲线上的任意一点）的变化趋势（当点沿曲线趋向于点时），一方面，获得了切线定义；另一方面，由割线的斜率与切线的斜率之间的关系──由函数的平均变化率到瞬时变化率，将切线斜率和导数相联系，得到导数的几何意义。通过导数的几何意义──切线的斜率的导出过程，学生又一次经历了由平均变化率到瞬时变化率解决现实问题的过程，进一步体验了导数的本质。

课标教材通过不断地应用导数解决实际问题，例如，通过研究血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率、 商品价格的上涨速度、净化水时净化费用的瞬时变化率、潮水的速度等例题与习题，使学生体验并逐步地认识到导数的本质就是瞬时变化率。

（三）定积分概念的引入

积分概念最本质的思想是：在每个局部小范围内“以直代曲”“以不变代变 ”和逼近的思想．事实上，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法．课标教材重点通过求曲边梯形面积的实例，即 “求由抛物线与直线，所围成的平面图形的面积S”，引导学生了解定积分的思想方法。

1．充分使用“先行组织者” ^{[4]（251-253）}　　

对于绝大部分高中学生来说，求上面曲边梯形的面积是一个非常困难的问题，他们很难找到解决问题的方法和步骤。课标教材充分使用“先行组织者”，设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，在思想方法上多做引导，使学生把新的学习内容的要素与已有认知结构中特别相关的部分联系起来，进行有意义的学习。

课标教材首先设置了一个思考栏目，揭示曲边梯形与“直边图形”的区别与联系：这个曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

由于这个曲边梯形与学生熟知的圆形都是“曲边图形”，接着，课标教材回顾圆这种特殊的曲边图形面积的求解过程：用正多边形逼近圆，利用正多边形的面积求出圆的面积。通过类比启发学生得到解决曲边梯形面积问题的思想方法──“以直代曲”和逼近的思想．

进而，进一步使用“先行组织者”，引导学生探索实现这种思想方法的“四步曲”──分割、近似代替、求和、取极限。

由于在解决问题的过程中充分使用“先行组织者”，从而有效地降低了学生的认知难度，有助于学生了解定积分概念的思想和求解这类问题的一般步骤。

2．通过几何直观和列表计算，观察变化趋势

对于求曲边梯形面积的过程中涉及到的极限问题，课标教材采用几何直观和列表计算相结合的方法，观察出变化趋势。

图1

通过观察几何图形

学生容易得到：把区间等分成小区间，原来的曲边梯形被拆分为个小曲边梯形；对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值；随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好。进而， 随着的不断增大， 近似值越来越趋向于曲边梯形的面积。

通过列表计算

表2

学生还可以从数值上看出这一变化趋势：当趋向于无穷大时，曲边梯形面积的近似值趋向于常数。从而，曲边梯形的面积。

二、强调导数和定积分的几何意义

以往教材对导数的几何意义的要求比较低，课标教材依据课程标准的要求，提高了利用导数的几何意义解决问题的要求。

首先，课标教材让学生反复通过图形去认识和感受导数的几何意义。

其次，课标教材中引导学生直接利用导数的几何意义去解决问题。

例如，如图2所示，它表示它表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位：mg/ml)随时间t（单位：min）变化的函数图象。根据图象，估计在x=0.2，0.4，0.6，0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率。

图2

根据导数的含义，血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率就是函数f(t)在此时刻的导数。由于不知道函数c=f(t)的解析式，因而无法直接计算出函数f(t)在此时刻的导数。但根据函数c=f(t)的图象，由导数的几何意义知，函数f(t)在此时刻的导数就是对应点处切线的斜率。

因此，可以画出曲线在某点上的切线，再利用网格估计这条切线的斜率，就得到该时刻药物浓度的瞬时变化率。如图2所示，作出x=0.8处的切线，它的斜率约为-1.6，所以就是要求的结果。

又如，如图3所示，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出同各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象。

图3

以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，而高度变化的快慢就是高度函数的瞬时变化率，也就是高度函数的导数，根据导数的几何意义，反映在图象上，随着时间t的增大，切线的斜率越来越大，因此，（A）符合上述变化情况。同理，可知其他三种容器的情况。这样，利用导数的含义和导数的几何意义，问题得以解决。

同样，在课标教材中，也特别强调定积分的几何意义，强调利用定积分的几何意义解决几何和物理问题。

通过强调导数和定积分的几何意义，一方面，加深了学生对导数本质的认识和理解，加深了学生对定积分的思想方法的了解；另一方面，体现了几何直观（数形结合）这一重要思想方法对于数学学习的意义和作用。

此外，课标教材还通过大量的图形让学生通过几何直观认识和感受导数在研究函数性

质中的作用。例如，通过观察高台跳水运动的高度函数和速度函数的图象，发现函数的单调性与其导数的符号之间的关系，再通过进一步地观察函数的图形，归纳出函数的单调性与其导数的符号之间的关系的规律，通过几何直观，使学生认识到导数在研究函数单调性中的作用。

三、避免过度的形式化运算

以往教材往往把导数作为一种规则来学习，对其本质的重视明显不足，过分强调形式化运算的运算。针对这些问题，课标教材把这部分内容定位在，强调对导数本质的认识，不仅把导数作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。因此，在课标教材中，一方面，降低了导数计算难度的要求；另一方面，通过利用导数的本质解决问题、利用导数的几何意义解决问题以及大量的应用导数解决实际问题的例题和习题（参见二），强化导数的本质与几何意义，从而淡化了导数的计算。

同样，在定积分部分，一方面，课标教材降低了定积分计算难度的要求；另一方面，着力于强化定积分的思想方法与几何意义，从而也淡化了定积分的计算。

四、关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合

“算法”是课程标准中新增加的内容，结合具体内容渗透算法的思想是学习算法的一个重要方面，课标教材结合导数的计算，设置了一个“探究与发现”栏目：牛顿法──用导数方法求方程的近似解，渗透算法的思想。同时，通过这个栏目，学生又一次体验到导数的应用。

把数学内容与信息技术进行有机地整合，是高中数学课程改革的一个重要方向，课标教材结合定积分概念的引入过程，设置了一个“信息技术应用”栏目：曲边梯形的面积。学生通过上机操作，利用几何画板和excel表格等软件，进一步体验求解曲边梯形面积的思想和方法，进而有助于他们对定积分的思想方法的理解。

五、使用课标教材的一些建议

中学老师们习惯于按先介绍极限再讲授导数、定积分的方式来组织教学，但目前的课程标准要求不专门讲极限，很多教学一线的老师们感到难以适应，他们担心，按照课标教材的呈现方式，教师难以组织课堂教学。我们在前一段时间的教材培训中了解到，有些教师甚至打算在讲导数和定积分之前补充一些极限的知识，“穿新鞋，走老路”。

（一）转变观念，准确把握教学要求

针对这种情况，我们认为，老师们首先必须转变观念，改变传统的习惯，不能总是以过去的做法为标准来评判新教材，要准确把握课标教材的教学要求，努力体现课标教材中合理的东西，努力按照课标教材的呈现方式来组织教学。例如，在微积分的教学中，教师必须转变微积分的主要内容就是形式化的计算的传统观念，准确把握教学要求，在导数、定积分概念的引入上多下工夫，并让学生通过不断的应用来理解导数和定积分的本质。教学中，必须强调导数和定积分的几何意义，直接利用导数和定积分的含义以及几何意义解决问题。这样，一方面，使学生进一步把握导数和定积分的本质；另一方面，也能有效地避免过度形式化的运算。

（二）适时说明极限符号的含义

由于课标教材没有专门讲极限的定义，但是在引入导数与定积分时，会不可避免地出现极限符号，学生可能不太容易搞清楚教材中所用极限符号的含义，因此，在教学中，每当出现极限符号时，教师都应适当地加以解释。例如，在课标教材第一次出现极限符号时，作如下说明：为了表述方便，我们用=-13.1来表示“当t=2，趋向于0时，以为自变量的函数即平均速度趋向于确定值-13.1”。在引入导数的定义时，进一步说明极限符号的含义：表示当趋向于0时，以为自变量的函数所趋向的确定的值。在求曲边梯形的面积时，说明极限符号表示：当趋向于无穷大时，趋向于确定值。同样地，对定积分定义中出现的极限符号也作类似的说明。通过这种画龙点睛式的点拨，学生就能搞清楚所涉及到的极限符号的含义，从而为他们更好地把握导数与定积分的本质铺平道路。

参考文献：

[1] 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)·选修1-1. 北京：人民教育出版社，2005.

[2] 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)·选修2-2. 北京：人民教育出版社，2005.

[3] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验). 北京：人民教育出版社，2003.

[4] 施良方.学习论?学习心理学的理论与原理.北京：人民教育出版社，1994.