巧设单位“１”解答行程难题_数学论文

    （吴乃华湖北仙桃市通海口小学）
    解答行程问题，一般都要有路程、速度、时间三种量中的任意两个量。但是，在一类竞赛题中，往往只有时间这一种量，根本不明示两个运动体的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中发生的，因此，给解题增加了一定的难度。
    如果在解答的过程中，能根据题意恰当地设某段路程为单位“１”，以此为尺子，来度量两个或几个运动体在不同的时间内，所行驶的路程的长短，这样，就能使数量关系明朗化，就能驾轻就熟，将问题化难为易。
    例１甲、乙、丙三人各以一定的速度，从Ａ地到Ｂ地，丙出发５分钟后乙才出发，乙用２５分钟追上丙；甲又比乙晚出发５分钟，经过４０分钟才追上丙。甲出发后，需用多少分钟才能追上乙？
    解设乙追上丙所走的这段路程为单位“１”，则乙每分钟能行这段路程的１／２５；丙每分钟能行这段路程的１／（２５＋５）＝１／３０；
    根据“丙出发５分钟后乙才出发”、“甲又比乙晚出发５分钟”，则甲比丙晚出发１０分钟。因此，当甲出发时，丙已行驶了这段路程的１／３０×１０＝１／３。甲追上丙，比丙多行了这段路程的１／３，花了４０分钟。根据追及问题的关系式，可知甲比丙每分钟多行这段路程的１／３÷４０＝１／１２０。因此，
    甲每分钟能行这段路程的１／３０×（５＋５）÷４０＋１／３０＝１／２４。
    通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“１”，已推出了甲和乙速度之间的关系，因而甲追上乙所需的时间就可知是
    （１／２５）×５÷（１／２４－１／２５）＝１２０（分）
    例２某人沿公路骑自行车匀速前进。他发现这一公路上的公共汽车，每隔２０分钟就有一辆车超过他，每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站，都以间隔相同的时间发一辆车，那么，每隔多少分钟发一辆车？
    解由于两个车站都是以间隔相同的时间发车，所以在这两个车站间的这段公路上，不论是什么时刻，同向行驶的所有车辆，两车间的距离都是相等的。如果把这两车间的间距设为单位“１”。题中“每隔２０分钟就有一辆车超过他”，即自行车和汽车同向前进，汽车比自行车多行一个“间距”，需２０分钟，也就是每分钟汽车比自行车多行“间距”的１／２０（速度差）；“每隔１２分钟就有一辆车和他迎面相遇”，同样可知，自行车和汽车在一分钟内，能共行“间距”的１／１２（速度和）。
    已知自行车和汽车在１分钟内的速度的“和”与“差”，由和差问题的关系式，可知汽车每分钟能行“间距”的（１／２０＋１／１２）÷２＝１／１５。
    因此，这路车发车的间隔时间为
    １÷〔（１／２０＋１／１５）÷２〕＝１５（分）
    例３甲骑自行车到城里去办事，走后，乙发现他忘了一物，立即骑摩托车去追，乙追了１５分钟还没追上，连忙问路旁的人，路旁的人回答说：“甲在２０分钟前经过这里。”乙看看手表，这时离甲出发时间一小时。乙需再行几分钟就能追上甲？
    解 “乙追了１５分钟还没追上”，如果把乙追甲这１５分钟所行的这段路程看作单位“１”，那么乙每分钟可行这段路程的１／１５。由题中条件可知，甲已出发一小时，并在２０分钟前经过这里，说明甲走这段路程花了６０－２０＝４０（分）钟，可知，甲每分钟能行这段路程的１／４０，并且还可以推知，当乙询问路旁人时，乙还距甲的路程是这段路程（单位“１”）的１／４０×２０＝１／２，根据追及问题的关系式，可以求得乙还需多少分钟才能追上甲，因此，本题的综合算式是：
    １／（６０－２０）×２０÷〔１／１５－１／（６０－２０）〕＝１２（分）
    这类题，单位“１”的确定，关键是确定一个与诸多因素相关联的可比量。这类题同样可以有多种解法，不过从确立单位“１”这个角度来解答，一方面与小学生知识联系紧密，轻车熟路，另一方面也可以培养学生在根据条件确立单位“１”的过程中，提高学生的分析判断能力。

巧设单位“１”解答行程难题